Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Решить системы ур-ий 1) £x = y + 3 (y²-2x = 9 2) (x+y = 8 2 xy = 12 3) X²-y² = 24 2 (2y-x = -7 4) (x²-2y² = 14 2x² + 2y² = 18 5) (x+y = 5 2x²+y² = 17
Ответ:
Привет! Давай решим эти системы уравнений.
1) Система уравнений:
\[\begin{cases} x = y + 3 \\ y^2 - 2x = 9 \end{cases}\]Подставим первое уравнение во второе:
\[y^2 - 2(y + 3) = 9\]
\[y^2 - 2y - 6 = 9\]
\[y^2 - 2y - 15 = 0\]
Решим квадратное уравнение относительно y:
Дискриминант:
\[D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\]
Корни:
\[y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2 + 8}{2} = 5\]
\[y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2 - 8}{2} = -3\]
Найдем соответствующие значения x:
\[x_1 = y_1 + 3 = 5 + 3 = 8\]
\[x_2 = y_2 + 3 = -3 + 3 = 0\]
Решение: (8, 5), (0, -3)
2) Система уравнений:
\[\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 12 \end{cases}\]Выразим x через y из первого уравнения:
\[x = 8 - y\]
Подставим во второе уравнение:
\[(8 - y)y = 12\]
\[8y - y^2 = 12\]
\[y^2 - 8y + 12 = 0\]
Решим квадратное уравнение относительно y:
Дискриминант:
\[D = (-8)^2 - 4(1)(12) = 64 - 48 = 16\]
Корни:
\[y_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{8 + 4}{2} = 6\]
\[y_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{8 - 4}{2} = 2\]
Найдем соответствующие значения x:
\[x_1 = 8 - y_1 = 8 - 6 = 2\]
\[x_2 = 8 - y_2 = 8 - 2 = 6\]
Решение: (2, 6), (6, 2)
3) Система уравнений:
\[\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ 2y - x = -7 \end{cases}\]Выразим x через y из второго уравнения:
\[x = 2y + 7\]
Подставим в первое уравнение:
\[(2y + 7)^2 - y^2 = 24\]
\[4y^2 + 28y + 49 - y^2 = 24\]
\[3y^2 + 28y + 25 = 0\]
Решим квадратное уравнение относительно y:
Дискриминант:
\[D = (28)^2 - 4(3)(25) = 784 - 300 = 484\]
Корни:
\[y_1 = \frac{-28 + \sqrt{484}}{2(3)} = \frac{-28 + 22}{6} = -1\]
\[y_2 = \frac{-28 - \sqrt{484}}{2(3)} = \frac{-28 - 22}{6} = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3}\]
Найдем соответствующие значения x:
\[x_1 = 2y_1 + 7 = 2(-1) + 7 = 5\]
\[x_2 = 2y_2 + 7 = 2(-\frac{25}{3}) + 7 = -\frac{50}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{29}{3}\]
Решение: (5, -1), (-29/3, -25/3)
4) Система уравнений:
\[\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14 \\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases}\]Сложим оба уравнения:
\[2x^2 = 32\]
\[x^2 = 16\]
\[x = \pm 4\]
Подставим x^2 = 16 во второе уравнение:
\[16 + 2y^2 = 18\]
\[2y^2 = 2\]
\[y^2 = 1\]
\[y = \pm 1\]
Решение: (4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)
5) Система уравнений:
\[\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 17 \end{cases}\]Выразим x через y из первого уравнения:
\[x = 5 - y\]
Подставим во второе уравнение:
\[(5 - y)^2 + y^2 = 17\]
\[25 - 10y + y^2 + y^2 = 17\]
\[2y^2 - 10y + 8 = 0\]
\[y^2 - 5y + 4 = 0\]
Решим квадратное уравнение относительно y:
Дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9\]
Корни:
\[y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{5 + 3}{2} = 4\]
\[y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{5 - 3}{2} = 1\]
Найдем соответствующие значения x:
\[x_1 = 5 - y_1 = 5 - 4 = 1\]
\[x_2 = 5 - y_2 = 5 - 1 = 4\]
Решение: (1, 4), (4, 1)
Ответ: Решения систем уравнений выше.
Ты молодец! У тебя всё получится!
