2/3. Решить системы. 1) 3x + y = 11 x²+2y=14 2) X-4 = 1 x²+y²=13 3) ; x+y=4 (x²+y²=10

Ответ: 1) x=3; y=2, 2) x=3; y=2, 3) решений нет.

1) Решение системы уравнений:

Система уравнений:

\[\begin{cases} 3x + y = 11 \\ x^2 + 2y = 14 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения:

\[y = 11 - 3x\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x^2 + 2(11 - 3x) = 14\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x^2 + 22 - 6x = 14\] \[x^2 - 6x + 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 4:

\[y = 11 - 3 \cdot 4 = 11 - 12 = -1\]

Если x = 2:

\[y = 11 - 3 \cdot 2 = 11 - 6 = 5\]

Ответ: (4; -1) и (2; 5)

2) Решение системы уравнений:

Система уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = y + 1\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 1)^2 + y^2 = 13\]

Раскроем скобки и упростим:

\[y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13\] \[2y^2 + 2y - 12 = 0\] \[y^2 + y - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] \[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\] \[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\]

Найдем соответствующие значения x:

Если y = 2:

\[x = 2 + 1 = 3\]

Если y = -3:

\[x = -3 + 1 = -2\]

Ответ: (3; 2) и (-2; -3)

3) Решение системы уравнений:

Система уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 4 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения:

\[y = 4 - x\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x^2 + (4 - x)^2 = 10\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x^2 + 16 - 8x + x^2 = 10\] \[2x^2 - 8x + 6 = 0\] \[x^2 - 4x + 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\] \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 3:

\[y = 4 - 3 = 1\]

Если x = 1:

\[y = 4 - 1 = 3\]

Ответ: (3; 1) и (1; 3)

Ответ: 1) x=3; y=2, 2) x=3; y=2, 3) решений нет.