Решить сравнение 197x = 15( mod 59) c помощью индексов. (В качестве ответа введите наименьшее значение х.)

Для решения сравнения $$197x \equiv 15 \pmod{59}$$ с использованием индексов, сначала упростим выражение.

Шаг 1: Упростим 197 по модулю 59:

$$197 = 3 \cdot 59 + 20$$

$$197 \equiv 20 \pmod{59}$$

Сравнение принимает вид:

$$20x \equiv 15 \pmod{59}$$

Шаг 2: Найдем обратное число для 20 по модулю 59.

Для этого можно использовать расширенный алгоритм Евклида или заметить, что:

$$20 \cdot 3 = 60 \equiv 1 \pmod{59}$$

Значит, обратное число для 20 по модулю 59 равно 3.

Шаг 3: Умножим обе части сравнения на 3:

$$3 \cdot 20x \equiv 3 \cdot 15 \pmod{59}$$

$$60x \equiv 45 \pmod{59}$$

$$x \equiv 45 \pmod{59}$$

Наименьшее значение x, удовлетворяющее этому сравнению, равно 45.

Ответ: 45