Решить треугольник, у которого две стороны равны 4 см и 4 см, а угол между ними — 45 градусов.

Обозначим равные стороны через \(a=b=4\) см, а угол между ними — \(C=45^\circ\).

1. По теореме косинусов найдём третью сторону \(c\): \(c^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cos45^\circ=32-16\sqrt{2}\). Следовательно, \(c=4\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx3.06\) см.

2. Треугольник равнобедренный, поэтому углы при основании равны. Каждый из них равен \(\frac{180^\circ-45^\circ}{2}=67.5^\circ\).

3. Периметр: \(P=8+4\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx11.06\) см. Площадь по формуле для двух сторон и угла между ними: \(S=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\sin45^\circ=4\sqrt{2}\approx5.66\) см².

Ответ: стороны — 4 см, 4 см и \(4\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx3.06\) см; углы — \(45^\circ\), \(67.5^\circ\) и \(67.5^\circ\).