Решить тригонометрические уравнения.

Решение:

1. \( 3 \sin 2x - \sin x = 0 \)

Используем формулу синуса двойного угла \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):

\( 3(2 \sin x \cos x) - \sin x = 0 \)
\( 6 \sin x \cos x - \sin x = 0 \)
\( \sin x (6 \cos x - 1) = 0 \)

Отсюда либо \( \sin x = 0 \), либо \( 6 \cos x - 1 = 0 \).

Если \( \sin x = 0 \), то \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Если \( 6 \cos x - 1 = 0 \), то \( \cos x = \frac{1}{6} \). Тогда \( x = \pm \arccos \frac{1}{6} + 2 \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi n \) или \( x = \pm \arccos \frac{1}{6} + 2 \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
2. \( \operatorname{tg} x + 5 \operatorname{ctg} x = 6 \)

Заменим \( \operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} \). Пусть \( y = \operatorname{tg} x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y + \frac{5}{y} = 6 \)

Умножим обе части на \( y \), предполагая \( y \neq 0 \):

\( y^2 + 5 = 6y \)
\( y^2 - 6y + 5 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\[ y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \]

Получаем два значения для \( y \):

\( y_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \) и \( y_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \>.

Теперь вернёмся к \( \operatorname{tg} x \):

Если \( \operatorname{tg} x = 5 \), то \( x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Если \( \operatorname{tg} x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} 5 + \pi n \) или \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
3. \( 1 + \cos x + \cos 2x = 0 \)

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \):

\( 1 + \cos x + (2 \cos^2 x - 1) = 0 \)
\( \cos x + 2 \cos^2 x = 0 \)
\( \cos x (1 + 2 \cos x) = 0 \)

Отсюда либо \( \cos x = 0 \), либо \( 1 + 2 \cos x = 0 \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Если \( 1 + 2 \cos x = 0 \), то \( \cos x = -\frac{1}{2} \). Тогда \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) или \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
4. \( \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3 \cos^2 x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 \)

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin^2 x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Значит \( \cos x \neq 0 \). Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
\( \operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0 \)

Пусть \( y = \operatorname{tg} x \). Тогда \( y^2 - 2y - 3 = 0 \).

Решим квадратное уравнение:

\[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Получаем два значения для \( y \):

\( y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \>.

Теперь вернёмся к \( \operatorname{tg} x \):

Если \( \operatorname{tg} x = 3 \), то \( x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Если \( \operatorname{tg} x = -1 \), то \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n \) или \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
5. \( \cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = 0 \)

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\( \cos x (\cos x - \sqrt{3} \sin x) = 0 \)

Отсюда либо \( \cos x = 0 \), либо \( \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Если \( \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \), то \( \cos x = \sqrt{3} \sin x \).

Если \( \cos x \neq 0 \), разделим на \( \cos x \): \( 1 = \sqrt{3} \operatorname{tg} x \), откуда \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Тогда \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) или \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
6. \( \sin x \cdot \cos 5x = -\sin 4x \)

Используем формулу произведения синусов \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \):

\( \frac{1}{2} [\sin(x + 5x) + \sin(x - 5x)] = -\sin 4x \)
\( \frac{1}{2} [\sin 6x + \sin (-4x)] = -\sin 4x \)
\( \frac{1}{2} [\sin 6x - \sin 4x] = -\sin 4x \)
\( \sin 6x - \sin 4x = -2 \sin 4x \)
\( \sin 6x = - \sin 4x \)
\( \sin 6x = \sin (-4x) \)

Это означает, что либо \( 6x = -4x + 2 \pi n \), либо \( 6x = \pi - (-4x) + 2 \pi k \).

Случай 1: \( 6x = -4x + 2 \pi n \)

\( 10x = 2 \pi n \)
\( x = \frac{\pi n}{5} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Случай 2: \( 6x = \pi + 4x + 2 \pi k \)

\( 2x = \pi + 2 \pi k \)
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = \frac{\pi n}{5} \) или \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
7. \( \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = 1.5 \)

Используем формулу \( \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \):

\( \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{3}{2} \)
\( 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x + 1 + \cos 6x = 3 \)
\( 3 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 3 \)
\( \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0 \)

Сгруппируем первое и третье слагаемые:

\( (\cos 2x + \cos 6x) + \cos 4x = 0 \)

Используем формулу суммы косинусов \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \):

\( 2 \cos \frac{2x + 6x}{2} \cos \frac{2x - 6x}{2} + \cos 4x = 0 \)
\( 2 \cos 4x \cos (-2x) + \cos 4x = 0 \)
\( 2 \cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0 \)
\( \cos 4x (2 \cos 2x + 1) = 0 \)

Отсюда либо \( \cos 4x = 0 \), либо \( 2 \cos 2x + 1 = 0 \).

Если \( \cos 4x = 0 \), то \( 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), откуда \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Если \( 2 \cos 2x + 1 = 0 \), то \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \). Тогда \( 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k \), откуда \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \) или \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).
8. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1 \)

Данное уравнение имеет вид \( a \cos x + b \sin x = c \). Можно привести его к виду \( R \cos(x + \alpha) = c \).

Здесь \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( b = -\frac{1}{2} \), \( c = 1 \).

\( R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1 \).

Уравнение принимает вид: \( 1 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x) = 1 \).

Заметим, что \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

Используя формулу \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \), мы можем переписать левую часть:

\( \cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} = 1 \)
\( \cos(x + \frac{\pi}{6}) = 1 \)

Следовательно, \( x + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

\( x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).