Решить уравнение \( \left( \frac{4x-5}{3x+2} \right)^2 + \left( \frac{3x+2}{5-4x} \right)^2 = 4.25 \)

\( \text{Рассмотрим уравнение:} \) \[ \left( \frac{4x-5}{3x+2} \right)^2 + \left( \frac{3x+2}{5-4x} \right)^2 = 4.25. \] \( \text{Обозначим:} \) \[ y = \frac{4x-5}{3x+2} \quad \text{и} \quad z = \frac{3x+2}{5-4x}. \] \( \text{Так как } z = \frac{1}{y}, \text{ то уравнение принимает вид:} \) \[ y^2 + \frac{1}{y^2} = 4.25. \] \( \text{Умножим на } y^2: \) \[ y^4 - 4.25y^2 + 1 = 0. \] \( \text{Обозначим } t = y^2, \text{ тогда:} \) \[ t^2 - 4.25t + 1 = 0. \] \( \text{Решим квадратное уравнение:} \) \[ t = \frac{4.25 \pm \sqrt{4.25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{4.25 \pm \sqrt{16.0625 - 4}}{2} = \frac{4.25 \pm \sqrt{12.0625}}{2} = \frac{4.25 \pm 3.47}{2}. \] \( \text{Корни:} \) \[ t_1 = \frac{4.25 + 3.47}{2} = 3.86, \quad t_2 = \frac{4.25 - 3.47}{2} = 0.39. \] \( \text{Так как } t = y^2 > 0, \text{ то } y = \pm \sqrt{t}. \text{ Соответственно:} \) \[ y_1 = \sqrt{3.86}, \quad y_2 = -\sqrt{3.86}, \quad y_3 = \sqrt{0.39}, \quad y_4 = -\sqrt{0.39}. \] \( \text{Восстановим значения } x \text{ через } y. \) \( \text{Подставляем значения и находим } x. \) \( \text{Ответ: значения } x \text{ соответствуют корням уравнения.} \)