1. Решить уравнение: 3 1) ³ 19-x³ = 3; 2) x+4 = 2x-1; 3) 4-3x = x; 4) x+10 = x - 2. 2. Решите неравенство: 1) x-3 < 2; 2) 3+2x = x+1. 3. Решить уравнение: х-2 + x+7 = 9.

1. Решить уравнение:

1) \(\sqrt[3]{19-x^3} = 3\)

Возведем обе части уравнения в куб:

\[(\sqrt[3]{19-x^3})^3 = 3^3\] \[19 - x^3 = 27\] \[-x^3 = 27 - 19\] \[-x^3 = 8\] \[x^3 = -8\] \[x = \sqrt[3]{-8}\] \[x = -2\]

Ответ: \(x = -2\)

2) \(\sqrt{x+4} = \sqrt{2x-1}\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(\sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{2x-1})^2\] \[x+4 = 2x-1\] \[2x - x = 4 + 1\] \[x = 5\]

Проверка:

\[\sqrt{5+4} = \sqrt{2 \cdot 5 - 1}\] \[\sqrt{9} = \sqrt{9}\] \[3 = 3\]

Ответ: \(x = 5\)

3) \(\sqrt{4-3x} = x\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(\sqrt{4-3x})^2 = x^2\] \[4 - 3x = x^2\] \[x^2 + 3x - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\] \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Проверка:

Для \(x = 1\):

\[\sqrt{4 - 3 \cdot 1} = 1\] \[\sqrt{1} = 1\] \[1 = 1\]

Для \(x = -4\):

\[\sqrt{4 - 3 \cdot (-4)} = -4\] \[\sqrt{16} = -4\] \[4
e -4\]

Ответ: \(x = 1\)

4) \(\sqrt{x+10} = x - 2\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(\sqrt{x+10})^2 = (x-2)^2\] \[x+10 = x^2 - 4x + 4\] \[x^2 - 4x - x + 4 - 10 = 0\] \[x^2 - 5x - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\] \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Проверка:

Для \(x = 6\):

\[\sqrt{6+10} = 6 - 2\] \[\sqrt{16} = 4\] \[4 = 4\]

Для \(x = -1\):

\[\sqrt{-1+10} = -1 - 2\] \[\sqrt{9} = -3\] \[3
e -3\]

Ответ: \(x = 6\)

2. Решите неравенство:

1) \(\sqrt{x-3} < 2\)

ОДЗ: \(x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\)

Возведем обе части неравенства в квадрат (т.к. обе части неотрицательны):

\[(\sqrt{x-3})^2 < 2^2\] \[x-3 < 4\] \[x < 4 + 3\] \[x < 7\]

С учетом ОДЗ получаем:

\[3 \le x < 7\]

Ответ: \(3 \le x < 7\)

2) \(\sqrt{3+2x} \ge \sqrt{x+1}\)

ОДЗ: \(3+2x \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -3 \Rightarrow x \ge -1.5\)

\[x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\)

ОДЗ: \(x \ge -1\)

Возведем обе части неравенства в квадрат (т.к. обе части неотрицательны):

\[(\sqrt{3+2x})^2 \ge (\sqrt{x+1})^2\] \[3+2x \ge x+1\] \[2x - x \ge 1 - 3\] \[x \ge -2\]

С учетом ОДЗ получаем:

\[x \ge -1\]

Ответ: \(x \ge -1\)

3. Решить уравнение: \(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+7} = 9\)

\[\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(\sqrt{x+7})^2 = (9 - \sqrt{x-2})^2\] \[x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + x - 2\] \[18\sqrt{x-2} = 81 - 2 - 7 - x + x\] \[18\sqrt{x-2} = 72\] \[\sqrt{x-2} = \frac{72}{18}\] \[\sqrt{x-2} = 4\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(\sqrt{x-2})^2 = 4^2\] \[x-2 = 16\] \[x = 16 + 2\] \[x = 18\]

Проверка:

\[\sqrt{18-2} + \sqrt{18+7} = 9\] \[\sqrt{16} + \sqrt{25} = 9\] \[4 + 5 = 9\] \[9 = 9\]

Ответ: \(x = 18\)