Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешить уравнение: 1) 125 · 9* – 120 15* + 12. 25* = 0;
Ответ:
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:
\[ 125 \cdot (3^2)^x - 120 \cdot (3 \cdot 5)^x + 12 \cdot (5^2)^x = 0 \]
- Шаг 2: Перепишем уравнение в виде:
\[ 125 \cdot (3^x)^2 - 120 \cdot 3^x \cdot 5^x + 12 \cdot (5^x)^2 = 0 \]
-
Шаг 3: Разделим обе части уравнения на \[(5^x)^2\] (так как \[5^x
eq 0\]):
\[ 125 \cdot \frac{(3^x)^2}{(5^x)^2} - 120 \cdot \frac{3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} + 12 = 0 \]
- Шаг 4: Упростим уравнение:
\[ 125 \cdot \left(\frac{3^x}{5^x}\right)^2 - 120 \cdot \frac{3^x}{5^x} + 12 = 0 \]
- Шаг 5: Введем замену переменной: \[t = \frac{3^x}{5^x} = \left(\frac{3}{5}\right)^x\]
\[ 125t^2 - 120t + 12 = 0 \]
- Шаг 6: Решим квадратное уравнение относительно \[t\]. Сначала упростим, разделив на 5:
\[ 25t^2 - 24t + \frac{12}{5} = 0 \]
- Шаг 7: Умножим на 5, чтобы избавиться от дроби:
\[ 125t^2 - 120t + 12 = 0 \]
- Шаг 8: Вычислим дискриминант:
\[ D = (-120)^2 - 4 \cdot 125 \cdot 12 = 14400 - 6000 = 8400 \]
- Шаг 9: Найдем корни:
\[ t_1 = \frac{120 + \sqrt{8400}}{2 \cdot 125} = \frac{120 + 20\sqrt{21}}{250} = \frac{6 + \sqrt{21}}{12.5}\\ t_2 = \frac{120 - \sqrt{8400}}{2 \cdot 125} = \frac{120 - 20\sqrt{21}}{250} = \frac{6 - \sqrt{21}}{12.5} \]
Упрощенное решение квадратного уравнения:
- Шаг 6: Упростим квадратное уравнение, разделив обе части на 5:
\[ 25t^2 - 24t + \frac{12}{5} = 0 \]
- Шаг 7: Домножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби:
\[ 125t^2 - 120t + 12 = 0 \]
- Шаг 8: Вычислим дискриминант D:
\[ D = b^2 - 4ac = (-120)^2 - 4 \cdot 125 \cdot 12 = 14400 - 6000 = 8400 \]
- Шаг 9: Вычислим корни t_1 и t_2:
\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{120 + \sqrt{8400}}{2 \cdot 125} = \frac{120 + 20\sqrt{21}}{250} = \frac{6 + \sqrt{21}}{12.5}\\ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{120 - \sqrt{8400}}{2 \cdot 125} = \frac{120 - 20\sqrt{21}}{250} = \frac{6 - \sqrt{21}}{12.5} \]
- Шаг 10: Решим каждое из уравнений \[\left(\frac{3}{5}\right)^x = t_1\] и \[\left(\frac{3}{5}\right)^x = t_2\]
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{6 + \sqrt{21}}{12.5}\\ \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{6 - \sqrt{21}}{12.5} \]
- Шаг 11: Прологарифмируем обе части уравнений по основанию \[\frac{3}{5}\]:
\[ x_1 = \log_{\frac{3}{5}} \left(\frac{6 + \sqrt{21}}{12.5}\right)\\ x_2 = \log_{\frac{3}{5}} \left(\frac{6 - \sqrt{21}}{12.5}\right) \]
Ответ: \[x_1 = \log_{\frac{3}{5}} \left(\frac{6 + \sqrt{21}}{12.5}\right), x_2 = \log_{\frac{3}{5}} \left(\frac{6 - \sqrt{21}}{12.5}\right)\]
