9. Решить уравнение 6/(x²-9) - (x+1)/(x-3) = 1/(x+3).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
  • x² - 9 ≠ 0, значит, x ≠ ±3
  • x - 3 ≠ 0, значит, x ≠ 3
  • x + 3 ≠ 0, значит, x ≠ -3
• Шаг 2: Приведем все дроби к общему знаменателю (x² - 9), умножив числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:
  • \(\frac{6}{x^2 - 9}\) остаётся без изменений.
  • \(\frac{x+1}{x-3} = \frac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 9}\)
  • \(\frac{1}{x+3} = \frac{1(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x-3}{x^2 - 9}\)
• Шаг 3: Запишем уравнение с общим знаменателем:

\[\frac{6}{x^2 - 9} - \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 9} = \frac{x - 3}{x^2 - 9}\]

• Шаг 4: Умножим обе части уравнения на (x² - 9), чтобы избавиться от знаменателя, при условии, что x ≠ ±3:

\[6 - (x^2 + 4x + 3) = x - 3\]

• Шаг 5: Упростим уравнение и приведем подобные члены:

\[6 - x^2 - 4x - 3 = x - 3\]\[-x^2 - 4x + 3 = x - 3\]\[0 = x^2 + 5x - 6\]

• Шаг 6: Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно использовать теорему Виета:

\[x^2 + 5x - 6 = 0\]\[x_1 + x_2 = -5\]\[x_1 \cdot x_2 = -6\]

• Шаг 7: Подбираем корни:

\[x_1 = -6, x_2 = 1\]

• Шаг 8: Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. Оба корня, x = -6 и x = 1, не равны ±3, следовательно, оба являются решениями.

Ответ: x = -6, x = 1