Контрольные задания > Решить уравнение (1183-1185).
Вопрос:

Решить уравнение (1183-1185).

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

Давай разберем каждое уравнение по порядку.

1183.

  1. \[ \mathrm{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

    2. Это табличное значение. Наша главная цель – найти угол, тангенс которого равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). Вспомним тригонометрический круг или таблицу значений тангенса. Таким углом является \( \frac{\pi}{6} \) (или 30 градусов). Так как тангенс имеет период \( \pi \), то общая формула решения будет:

    \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  2. \[ \mathrm{tg} x = \sqrt{3} \]

    3. Здесь мы ищем угол, тангенс которого равен \( \sqrt{3} \). Это \( \frac{\pi}{3} \) (или 60 градусов).

    \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  3. \[ \mathrm{tg} x = -\sqrt{3} \]

    4. Тангенс отрицательного угла равен отрицательному значению. Угол, тангенс которого \( -\sqrt{3} \), это \( -\frac{\pi}{3} \) (или -60 градусов). Периодичность тангенса \( \pi \) остается.

    \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  4. \[ \mathrm{tg} x = -1 \]

    5. Угол, тангенс которого равен \( -1 \), это \( -\frac{\pi}{4} \) (или -45 градусов).

    \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  5. \[ \mathrm{tg} x = 4 \]

    6. Число 4 не является табличным значением тангенса. В таких случаях мы используем обратную тригонометрическую функцию арктангенс (arctg). Решение записывается как:

    \[ x = \mathrm{arctg} 4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  6. \[ \mathrm{tg} x = -5 \]

    7. Аналогично предыдущему пункту, используем арктангенс.

    \[ x = \mathrm{arctg} (-5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

1184.

  1. \[ \mathrm{tg} 3x = 0 \]

    2. Тангенс равен нулю, когда аргумент равен \( \pi n \). В нашем случае аргумент – это \( 3x \).

    \[ 3x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

    Чтобы найти \( x \), разделим обе части на 3:

    \[ x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
  2. \[ 1 + \mathrm{tg}^2 \frac{x}{3} = 0 \]

    3. Перенесем единицу в правую часть:

    \[ \mathrm{tg}^2 \frac{x}{3} = -1 \]

    Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

  3. \[ \sqrt{3} + \mathrm{tg} \frac{x}{6} = 0 \]

    4. Перенесем \( \sqrt{3} \) в правую часть:

    \[ \mathrm{tg} \frac{x}{6} = -\sqrt{3} \]

    Аргумент \( \frac{x}{6} \) должен быть равен \( -\frac{\pi}{3} \) (или \( \frac{2\pi}{3} \)) плюс \( \pi n \).

    \[ \frac{x}{6} = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

    Умножим обе части на 6:

    \[ x = -2\pi + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

1185.

  1. \[ (\mathrm{tg} x - 1)(\mathrm{tg} x + \sqrt{3}) = 0 \]

    2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

    1) \( \mathrm{tg} x - 1 = 0 \) => \( \mathrm{tg} x = 1 \) => \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

    2) \( \mathrm{tg} x + \sqrt{3} = 0 \) => \( \mathrm{tg} x = -\sqrt{3} \) => \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

  2. \[ (\mathrm{tg} x - 2)(2 \cos x - 1) = 0 \]

    3. Это уравнение распадается на два:

    1) \( \mathrm{tg} x - 2 = 0 \) => \( \mathrm{tg} x = 2 \) => \[ x = \mathrm{arctg} 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

    2) \( 2 \cos x - 1 = 0 \) => \( 2 \cos x = 1 \) => \( \cos x = \frac{1}{2} \)

    Уравнение \( \cos x = \frac{1}{2} \) имеет решения:

    \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
  3. \[ (\mathrm{tg} x + 4)(\mathrm{tg}^2 \frac{x}{2} - 1) = 0 \]

    4. Рассмотрим каждый множитель:

    1) \( \mathrm{tg} x + 4 = 0 \) => \( \mathrm{tg} x = -4 \) => \[ x = \mathrm{arctg} (-4) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

    2) \( \mathrm{tg}^2 \frac{x}{2} - 1 = 0 \) => \( \mathrm{tg}^2 \frac{x}{2} = 1 \) => \( \mathrm{tg} \frac{x}{2} = \pm 1 \)

    Если \( \mathrm{tg} \frac{x}{2} = 1 \), то \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \) => \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

    Если \( \mathrm{tg} \frac{x}{2} = -1 \), то \( \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n \) => \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

    Объединяя эти два случая, получаем: \( x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

  4. \[ (\sqrt{3} \mathrm{tg} x + 1)(\mathrm{tg} x - \sqrt{3}) = 0 \]

    5. Рассмотрим множители:

    1) \( \sqrt{3} \mathrm{tg} x + 1 = 0 \) => \( \mathrm{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) => \[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

    2) \( \mathrm{tg} x - \sqrt{3} = 0 \) => \( \mathrm{tg} x = \sqrt{3} \) => \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

  5. \[ (\mathrm{tg} x - 4,5)(1 + 2 \sin x) = 0 \]

    6. Рассмотрим множители:

    1) \( \mathrm{tg} x - 4,5 = 0 \) => \( \mathrm{tg} x = 4,5 \) => \[ x = \mathrm{arctg} 4,5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

    2) \( 1 + 2 \sin x = 0 \) => \( 2 \sin x = -1 \) => \( \sin x = -\frac{1}{2} \)

    Уравнение \( \sin x = -\frac{1}{2} \) имеет решения:

    \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
  6. \[ (\mathrm{tg}^2 \frac{x}{6} + 1)(\mathrm{tg} x - 1) = 0 \]

    7. Рассмотрим множители:

    1) \( \mathrm{tg}^2 \frac{x}{6} + 1 = 0 \) => \( \mathrm{tg}^2 \frac{x}{6} = -1 \). Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, значит, это уравнение не имеет решений.

    2) \( \mathrm{tg} x - 1 = 0 \) => \( \mathrm{tg} x = 1 \) => \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю