Решить уравнение: 25^(log_5 x) = 3x - 1

Решение:

Данное уравнение: \( 25^{\log_5 x} = 3x - 1 \).

1. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней \( a^{mn} = (a^m)^n \) и \( a^{\log_a b} = b \):
   \( 25^{\log_5 x} = (5^2)^{\log_5 x} = 5^{2 \cdot \log_5 x} = 5^{\log_5 (x^2)} = x^2 \).
2. Подставим преобразованную левую часть в исходное уравнение:
   \( x^2 = 3x - 1 \).
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( x^2 - 3x + 1 = 0 \).
4. Решим полученное квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
   \( a = 1, b = -3, c = 1 \).
   \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 \).
5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \).
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \).
6. Проверим, удовлетворяют ли корни условию существования логарифма \( x > 0 \).
   \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} > 0 \) (так как \( 3 > 0 \) и \( \sqrt{5} > 0 \)).
   \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \). Так как \( 3 = \sqrt{9} \) и \( \sqrt{9} > \sqrt{5} \), то \( 3 - \sqrt{5} > 0 \), следовательно \( x_2 > 0 \).

Ответ: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \).