Решить уравнение: 25^{\(\log\)_5 x} = 3x - 2x^2

Решение:

1. Заметим, что \( 25 = 5^2 \), поэтому уравнение можно переписать как \( (5^2)^{\log_5 x} = 3x - 2x^2 \).
2. Используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \), получаем \( 5^{2 \log_5 x} \).
3. Используя свойство логарифма \( k \log_a b = \log_a b^k \), получаем \( 5^{\log_5 x^2} \).
4. Используя основное свойство логарифма \( a^{\log_a b} = b \), получаем \( x^2 \).
5. Теперь исходное уравнение выглядит так: \( x^2 = 3x - 2x^2 \).
6. Перенесём все члены в одну сторону:
   \( x^2 - 3x + 2x^2 = 0 \)
   \( 3x^2 - 3x = 0 \)
7. Вынесем общий множитель \( 3x \):
   \( 3x(x - 1) = 0 \)
8. Отсюда получаем два возможных решения:
   \( 3x = 0 \) или \( x - 1 = 0 \).
9. \( x = 0 \) или \( x = 1 \).
10. Учтём область допустимых значений для логарифма: \( x > 0 \).
11. Следовательно, \( x = 0 \) не подходит.

Ответ: 1