Решить уравнение: 25^(log5 x) = 3x - 2x^2

Решение:

Данное уравнение состоит из двух частей. Преобразуем левую часть:

\( 25^{\log_5 x} = (5^2)^{\log_5 x} = 5^{2 \log_5 x} = 5^{\log_5 x^2} = x^2 \)

Теперь уравнение примет вид:

\[ x^2 = 3x - 2x^2 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ x^2 - 3x + 2x^2 = 0 \]

\[ 3x^2 - 3x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 3x \) за скобки:

\[ 3x(x - 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 3x = 0 \quad \text{или} \quad x - 1 = 0 \]

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \]

Однако, в исходном уравнении есть логарифм \( \log_5 x \). Область допустимых значений для логарифма: \( x > 0 \).

Поэтому корень \( x = 0 \) не подходит.

Проверим корень \( x = 1 \):

Левая часть: \( 25^{\log_5 1} = 25^0 = 1 \)

Правая часть: \( 3(1) - 2(1)^2 = 3 - 2 = 1 \)

Левая часть равна правой части.

Ответ: x = 1.