Решить уравнение: 2sin^2 x - \(\sqrt{2}\) sin x = 0.

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \sin x \).

1. Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки: \[ \sin x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0 \]
2. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( \sin x = 0 \)
• \( 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow 2 \sin x = \sqrt{2} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
3. Решим каждое из полученных уравнений:
• \( \sin x = 0 \)


• \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)


• \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)


• \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Объединяя все корни, получаем:

\( x = \pi k \), \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi k \), \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).