Решить уравнение (378-380). 1) log₁(7-8x) = −2; 2) lg (x² - 2) = lg x.

Решение:

1. 1) Логарифмическое уравнение:
   \( \log_{\frac{1}{2}}(7-8x) = -2 \)
   По определению логарифма, имеем:
   \( 7-8x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \)
   \( 7-8x = 2^2 \)
   \( 7-8x = 4 \)
   \( -8x = 4 - 7 \)
   \( -8x = -3 \)
   \( x = \frac{-3}{-8} \)
   \( x = \frac{3}{8} \)
   Проверим условие существования логарифма: \( 7 - 8x > 0 \).
   \( 7 - 8 \cdot \frac{3}{8} = 7 - 3 = 4 > 0 \). Условие выполнено.
2. 2) Логарифмическое уравнение:
   \( \lg(x^2 - 2) = \lg x \)
   Так как основания логарифмов равны (десятичный логарифм), приравниваем выражения под знаком логарифма:
   \( x^2 - 2 = x \)
   Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( x^2 - x - 2 = 0 \)
   Найдем дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)
   Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
   Проверим условия существования логарифмов:
   Для \( \lg(x^2 - 2) \) необходимо \( x^2 - 2 > 0 \).
   Для \( \lg x \) необходимо \( x > 0 \).
   Проверим корень \( x_1 = 2 \):
   \( 2 > 0 \) — верно.
   \( 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0 \) — верно.
   Значит, \( x = 2 \) — решение.
   Проверим корень \( x_2 = -1 \):
   \( -1 > 0 \) — неверно.
   Значит, \( x = -1 \) — посторонний корень.

Ответ: 1) \( x = \frac{3}{8} \); 2) \( x = 2 \).