Решить уравнение \(6\log_8 x^2-5\log_8 x+1=0\) и указать корни на отрезке \([1;25]\).

Область определения: \(x>0\). Тогда \(\log_8 x^2=2\log_8 x\).

Обозначим \(t=\log_8 x\). Получаем:

\(6\cdot 2t-5t+1=0\),
\(7t+1=0\),
\(t=-\frac{1}{7}\).

Значит, \(\log_8 x=-\frac{1}{7}\), поэтому \(x=8^{-1/7}\). Так как \(8>1\), а показатель отрицательный, \(0<8^{-1/7}<1\). Этот корень не принадлежит отрезку \([1;25]\).

Ответ: уравнение имеет корень \(x=8^{-1/7}\), но на отрезке \([1;25]\) корней нет.