Решить уравнение: 8^{log_2 x} = 3x - 2x^2

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней и логарифмов. Заметим, что \( 8 = 2^3 \). Тогда левую часть можно представить как \( (2^3)^{log_2 x} = 2^{3 \cdot log_2 x} = 2^{log_2 x^3} = x^3 \).

Теперь уравнение выглядит так: \( x^3 = 3x - 2x^2 \).

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:

\[ x^3 + 2x^2 - 3x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(x^2 + 2x - 3) = 0 \]

Это уравнение имеет два случая:

1. \( x = 0 \). Однако, по условию логарифма, \( x \) должен быть больше нуля (\( x > 0 \)). Следовательно, \( x = 0 \) не является решением.
2. \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Решим это квадратное уравнение.

Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:

• \( x_1 + x_2 = -2 \)
• \( x_1 \cdot x_2 = -3 \)

Подбираем корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).

Проверим условие \( x > 0 \). Подходит только \( x = 1 \).

Проверим найденное решение \( x=1 \) в исходном уравнении:

Левая часть: \( 8^{log_2 1} = 8^0 = 1 \).

Правая часть: \( 3(1) - 2(1)^2 = 3 - 2 = 1 \).

Левая часть равна правой. Таким образом, \( x = 1 \) является решением.

Ответ: x = 1.