Решить уравнение: \(8\sin^2\left(\frac{7\pi}{12}+x\right)-2\sqrt{3}\cos 2x=5\), если \(x\in\left[-\frac{7\text{π}}{2};-\frac{5\text{π}}{2}\right]\).

Используем формулу \(\sin^2 a=\frac{1-\cos 2a}{2}\):

\[8\sin^2\left(x+\frac{7\pi}{12}\right)=4-4\cos\left(2x+\frac{7\\pi}{6}\right).\]

Тогда

\[4-4\cos\left(2x+\frac{7\pi}{6}\right)-2\sqrt3\cos2x=5,\]

\[2\cos\left(2x+\frac{7\pi}{6}\right)+\sqrt3\cos2x=-\frac12.\]

Так как \(\cos\left(2x+\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac12\cos2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin2x\), получаем:

\[-\cos2x+\sqrt3\sin2x+\sqrt3\cos2x=-\frac12,\]

\[\frac12\cos2x+\sqrt3\sin2x=-\frac12.\]

Умножим на 2:

\[\cos2x+2\sqrt3\sin2x=-1.\]

На данном отрезке проверка корней уравнения даёт значения \(x=-\frac{7\pi}{2}\) и \(x=-\frac{5\pi}{2}\), которые удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \(x\in\left\{-\frac{7\pi}{2},-\frac{5\pi}{2}\right\}\).