Решить уравнение (а – 1)x² + 2(2а + 1)x + (4a + 3) = 0 при а < - 4/5

Решение:

Данное уравнение является квадратным. Его корни можно найти по формуле дискриминанта:

\( x_{1,2} = \frac{-(2a+1) \pm \sqrt{(2(2a+1))^2 - 4(a-1)(4a+3)}}{2(a-1)} \)

Вычислим дискриминант:

\[ D = (2(2a+1))^2 - 4(a-1)(4a+3) \]

\[ D = 4(4a^2 + 4a + 1) - 4(4a^2 + 3a - 4a - 3) \]

\[ D = 16a^2 + 16a + 4 - 4(4a^2 - a - 3) \]

\[ D = 16a^2 + 16a + 4 - 16a^2 + 4a + 12 \]

\[ D = 20a + 16 \]

Теперь подставим это выражение обратно в формулу корней:

\[ x_{1,2} = \frac{-(2a+1) \pm \sqrt{20a+16}}{2(a-1)} \]

Среди предложенных вариантов ответа, вариант 'a' наиболее близок к полученной формуле, но в нем вместо \( \sqrt{20a+16} \) стоит \( \sqrt{5a+4} \). Давайте проверим, нет ли упрощения, которое мы могли упустить.

Если \( 20a+16 = 5a+4 \), то \( 15a = -12 \), \( a = -12/15 = -4/5 \). Но условие \( a < -4/5 \) исключает это равенство.

Проверим предложенные варианты:

Если \( a < -4/5 \), то \( 20a + 16 < 0 \). Например, при \( a = -1 \), \( D = 20(-1) + 16 = -4 \). В этом случае действительных корней нет.

Вариант 'c' 'нет корней' будет верным, если \( D < 0 \) при \( a < -4/5 \). Поскольку \( 20a + 16 \) убывает с ростом \( a \), при \( a < -4/5 \) значение \( 20a + 16 \) будет меньше нуля.

Следовательно, при \( a < -4/5 \) дискриминант отрицателен, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: c. нет корней