Решить уравнение (a-1)x²+ax-2 / x²-4 = 0 при a = −4-2√6

Решение:

1. Уравнение имеет вид: \( \frac{(a-1)x^2 + ax - 2}{x^2 - 4} = 0 \).
2. Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель — не равняться нулю.
3. Числитель: \( (a-1)x^2 + ax - 2 = 0 \).
4. Знаменатель: \( x^2 - 4 \neq 0 \), что означает \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
5. Подставим значение \( a = -4 - 2\sqrt{6} \) в уравнение числителя.
6. \( a-1 = -4 - 2\sqrt{6} - 1 = -5 - 2\sqrt{6} \)
7. \( (a-1)x^2 + ax - 2 = (-5 - 2\sqrt{6})x^2 + (-4 - 2\sqrt{6})x - 2 = 0 \)
8. Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = -5 - 2\sqrt{6} \), \( b = -4 - 2\sqrt{6} \), \( c = -2 \).
9. \( D = (-4 - 2\sqrt{6})^2 - 4(-5 - 2\sqrt{6})(-2) \)
10. \( D = (16 + 16\sqrt{6} + 4 \cdot 6) - 8(5 + 2\sqrt{6}) \)
11. \( D = (16 + 16\sqrt{6} + 24) - 40 - 16\sqrt{6} \)
12. \( D = 40 + 16\sqrt{6} - 40 - 16\sqrt{6} = 0 \)
13. Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень: \( x = \frac{-b}{2a} \).
14. \( x = \frac{-(-4 - 2\sqrt{6})}{2(-5 - 2\sqrt{6})} = \frac{4 + 2\sqrt{6}}{-10 - 4\sqrt{6}} \)
15. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю: \( -10 + 4\sqrt{6} \).
16. \( x = \frac{(4 + 2\sqrt{6})(-10 + 4\sqrt{6})}{(-10 - 4\sqrt{6})(-10 + 4\sqrt{6})} \)
17. Числитель: \( -40 + 16\sqrt{6} - 20\sqrt{6} + 8 \cdot 6 = -40 - 4\sqrt{6} + 48 = 8 - 4\sqrt{6} \)
18. Знаменатель: \( (-10)^2 - (4\sqrt{6})^2 = 100 - 16 \cdot 6 = 100 - 96 = 4 \)
19. \( x = \frac{8 - 4\sqrt{6}}{4} = 2 - \sqrt{6} \)
20. Проверим, что \( x = 2 - \sqrt{6} \) не равен \( 2 \) и \( -2 \).
21. \( 2 - \sqrt{6} \neq 2 \) (так как \( \sqrt{6} \neq 0 \)).
22. \( 2 - \sqrt{6} \neq -2 \) (так как \( 4 \neq \sqrt{6} \)).
23. Таким образом, корень \( x = 2 - \sqrt{6} \) является решением исходного уравнения.

Ответ: x = 2 - √6.