3. Решить уравнение: а) (x²-4)√x+1=0; 6) (x²+5x)√x−3 = 0; B) (x-3)√x2−5x+4 =2x-6 г) х²+11+ √x² +11 = 42 ; д) √x² + 20 + x² = 22; e) x² + √x²+2x+8=12-2x; ж) 2x√2x + 35 = x²+2x+35; 3) √5x + 7 - √x + 4 = 4x + 3; и) (√x+4-2)(x-3+4)=x. Указание. г); д) – замена очевидна; и) – часто полезно умножать иррациональное выражение на сопряженное, например, √a-b умножить на √а+в. Попробуйте умножить всё уравнение на что- ΤΟ....

Решение уравнений

а) (x²-4)√(x+1) = 0

Разложим на множители и рассмотрим каждый случай:

• x² - 4 = 0 => x = ±2
• √(x+1) = 0 => x = -1

Проверим каждый корень:

• x = 2: (2² - 4)√(2+1) = 0 (верно)
• x = -2: ((-2)² - 4)√(-2+1) = 0 (не имеет смысла, т.к. √(-1))
• x = -1: ((-1)² - 4)√(-1+1) = 0 => (-3) * 0 = 0 (верно)

Ответ: x = 2, x = -1

б) (x²+5x)√(x-3) = 0

Рассмотрим каждый случай:

• x² + 5x = 0 => x(x+5) = 0 => x = 0, x = -5
• √(x-3) = 0 => x = 3

Проверим каждый корень:

• x = 0: (0² + 5*0)√(0-3) = 0 (не имеет смысла, т.к. √(-3))
• x = -5: ((-5)² + 5*(-5))√(-5-3) = 0 (не имеет смысла, т.к. √(-8))
• x = 3: (3² + 5*3)√(3-3) = 0 => (9 + 15) * 0 = 0 (верно)

Ответ: x = 3

в) (x-3)√(x²-5x+4) = 2x-6

Перепишем уравнение:

(x-3)√(x²-5x+4) = 2(x-3)

(x-3)(√(x²-5x+4) - 2) = 0

Рассмотрим каждый случай:

• x - 3 = 0 => x = 3
• √(x²-5x+4) = 2 => x²-5x+4 = 4 => x²-5x = 0 => x(x-5) = 0 => x = 0, x = 5

Проверим каждый корень:

• x = 3: (3-3)√(3²-5*3+4) = 2*3-6 => 0 = 0 (верно)
• x = 0: (0-3)√(0²-5*0+4) = 2*0-6 => -3*2 = -6 (верно)
• x = 5: (5-3)√(5²-5*5+4) = 2*5-6 => 2*2 = 4 (верно)

Ответ: x = 0, x = 3, x = 5

г) x² + 11 + √(x² + 11) = 42

Пусть y = x² + 11. Тогда уравнение примет вид:

y + √y = 42

√y = 42 - y

y = (42 - y)²

y = 1764 - 84y + y²

y² - 85y + 1764 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно y:

D = 85² - 4*1764 = 7225 - 7056 = 169

y₁ = (85 + √169) / 2 = (85 + 13) / 2 = 98 / 2 = 49

y₂ = (85 - √169) / 2 = (85 - 13) / 2 = 72 / 2 = 36

Теперь найдем x:

• x² + 11 = 49 => x² = 38 => x = ±√38
• x² + 11 = 36 => x² = 25 => x = ±5

Проверим каждый корень:

• x = √38: (√38)² + 11 + √((√38)² + 11) = 38 + 11 + √49 = 49 + 7 = 56 ≠ 42 (неверно)
• x = -√38: (-√38)² + 11 + √((-√38)² + 11) = 38 + 11 + √49 = 49 + 7 = 56 ≠ 42 (неверно)
• x = 5: 5² + 11 + √(5² + 11) = 25 + 11 + √36 = 36 + 6 = 42 (верно)
• x = -5: (-5)² + 11 + √((-5)² + 11) = 25 + 11 + √36 = 36 + 6 = 42 (верно)

Ответ: x = 5, x = -5

д) √(x² + 20) + x² = 22

Пусть y = x². Тогда уравнение примет вид:

√(y + 20) + y = 22

√(y + 20) = 22 - y

y + 20 = (22 - y)²

y + 20 = 484 - 44y + y²

y² - 45y + 464 = 0

D = 45² - 4*464 = 2025 - 1856 = 169

y₁ = (45 + √169) / 2 = (45 + 13) / 2 = 58 / 2 = 29

y₂ = (45 - √169) / 2 = (45 - 13) / 2 = 32 / 2 = 16

Теперь найдем x:

• x² = 29 => x = ±√29
• x² = 16 => x = ±4

Проверим каждый корень:

• x = √29: √((√29)² + 20) + (√29)² = √(29 + 20) + 29 = √49 + 29 = 7 + 29 = 36 ≠ 22 (неверно)
• x = -√29: √((-√29)² + 20) + (-√29)² = √(29 + 20) + 29 = √49 + 29 = 7 + 29 = 36 ≠ 22 (неверно)
• x = 4: √(4² + 20) + 4² = √(16 + 20) + 16 = √36 + 16 = 6 + 16 = 22 (верно)
• x = -4: √((-4)² + 20) + (-4)² = √(16 + 20) + 16 = √36 + 16 = 6 + 16 = 22 (верно)

Ответ: x = 4, x = -4

e) x² + √(x² + 2x + 8) = 12 - 2x

x² + 2x + √(x² + 2x + 8) = 12

Пусть y = x² + 2x + 8. Тогда x² + 2x = y - 8.

y - 8 + √y = 12

√y = 20 - y

y = (20 - y)²

y = 400 - 40y + y²

y² - 41y + 400 = 0

D = 41² - 4*400 = 1681 - 1600 = 81

y₁ = (41 + √81) / 2 = (41 + 9) / 2 = 50 / 2 = 25

y₂ = (41 - √81) / 2 = (41 - 9) / 2 = 32 / 2 = 16

Теперь найдем x:

• x² + 2x + 8 = 25 => x² + 2x - 17 = 0

D = 2² - 4*(-17) = 4 + 68 = 72

x₁ = (-2 + √72) / 2 = (-2 + 6√2) / 2 = -1 + 3√2

x₂ = (-2 - √72) / 2 = (-2 - 6√2) / 2 = -1 - 3√2

• x² + 2x + 8 = 16 => x² + 2x - 8 = 0

D = 2² - 4*(-8) = 4 + 32 = 36

x₃ = (-2 + √36) / 2 = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2

x₄ = (-2 - √36) / 2 = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4

Проверим каждый корень:

• x = -1 + 3√2: (-1 + 3√2)² + √((-1 + 3√2)² + 2(-1 + 3√2) + 8) = 13.48 ≠ 12 - 2(-1 + 3√2) = 3.51 (неверно)
• x = -1 - 3√2: (-1 - 3√2)² + √((-1 - 3√2)² + 2(-1 - 3√2) + 8) = 34.51 ≠ 12 - 2(-1 - 3√2) = 20.48 (неверно)
• x = 2: 2² + √(2² + 2*2 + 8) = 4 + √(4 + 4 + 8) = 4 + √16 = 4 + 4 = 8 ≠ 12 - 2*2 = 8 (верно)
• x = -4: (-4)² + √((-4)² + 2*(-4) + 8) = 16 + √(16 - 8 + 8) = 16 + √16 = 16 + 4 = 20 ≠ 12 - 2*(-4) = 20 (верно)

Ответ: x = 2, x = -4

ж) 2x√(2x + 35) = x² + 2x + 35

Пусть y = √(2x + 35). Тогда y² = 2x + 35, и уравнение примет вид:

2x * y = x² + y²

x² - 2xy + y² = 0

(x - y)² = 0

x = y

x = √(2x + 35)

x² = 2x + 35

x² - 2x - 35 = 0

D = (-2)² - 4*(-35) = 4 + 140 = 144

x₁ = (2 + √144) / 2 = (2 + 12) / 2 = 14 / 2 = 7

x₂ = (2 - √144) / 2 = (2 - 12) / 2 = -10 / 2 = -5

Проверим каждый корень:

• x = 7: 2*7*√(2*7 + 35) = 14√(14 + 35) = 14√49 = 14*7 = 98, 7² + 2*7 + 35 = 49 + 14 + 35 = 98 (верно)
• x = -5: 2*(-5)*√(2*(-5) + 35) = -10√(-10 + 35) = -10√25 = -10*5 = -50, (-5)² + 2*(-5) + 35 = 25 - 10 + 35 = 50 (неверно)

Ответ: x = 7

3) √(5x + 7) - √(x + 4) = 4x + 3

Перенесем √(x + 4) в правую часть:

√(5x + 7) = 4x + 3 + √(x + 4)

Возведем обе части в квадрат:

5x + 7 = (4x + 3)² + 2(4x + 3)√(x + 4) + (x + 4)

5x + 7 = 16x² + 24x + 9 + 2(4x + 3)√(x + 4) + x + 4

5x + 7 = 16x² + 25x + 13 + 2(4x + 3)√(x + 4)

2(4x + 3)√(x + 4) = -16x² - 20x - 6

(4x + 3)√(x + 4) = -8x² - 10x - 3

(4x + 3)√(x + 4) = -(8x² + 10x + 3)

(4x + 3)√(x + 4) = -(4x + 3)(2x + 1)

Рассмотрим случаи:

• 4x + 3 = 0 => x = -3/4

Проверим:

√(5(-3/4) + 7) - √((-3/4) + 4) = 4(-3/4) + 3

√(-15/4 + 28/4) - √(-3/4 + 16/4) = -3 + 3

√(13/4) - √(13/4) = 0

0 = 0 (верно)

Ответ: x = -3/4

и) (√(x+4) - 2)(√(x-3) + 4) = x

(√(x+4) - 2)(√(x-3) + 4) = x

Умножим на сопряженное к (√(x+4) - 2), то есть на (√(x+4) + 2):

((√(x+4) - 2)(√(x+4) + 2))(√(x-3) + 4) = x(√(x+4) + 2)

(x+4 - 4)(√(x-3) + 4) = x(√(x+4) + 2)

x(√(x-3) + 4) = x(√(x+4) + 2)

Если x = 0:

(√4 - 2)(√(-3) + 4) = 0 (не имеет смысла из-за √(-3))

Если x ≠ 0, разделим обе части на x:

√(x-3) + 4 = √(x+4) + 2

√(x-3) = √(x+4) - 2

Возведем обе части в квадрат:

x - 3 = x + 4 - 4√(x+4) + 4

x - 3 = x + 8 - 4√(x+4)

-11 = -4√(x+4)

11 = 4√(x+4)

121 = 16(x+4)

121 = 16x + 64

16x = 57

x = 57/16

Проверим:

(√(57/16 + 4) - 2)(√(57/16 - 3) + 4) = 57/16

(√(57/16 + 64/16) - 2)(√(57/16 - 48/16) + 4) = 57/16

(√(121/16) - 2)(√(9/16) + 4) = 57/16

(11/4 - 2)(3/4 + 4) = 57/16

(11/4 - 8/4)(3/4 + 16/4) = 57/16

(3/4)(19/4) = 57/16

57/16 = 57/16 (верно)

Ответ: x = 57/16