Решить уравнение: \(\frac{2x-2}{x+3} - \frac{x+3}{3-x} = 5\)

Решение:

1. Приведём дробь \(\frac{x+3}{3-x}\) к знаменателю \(x+3\), умножив числитель и знаменатель на \(-1\): \(\frac{x+3}{3-x} = \frac{-(x+3)}{-(3-x)} = \frac{-x-3}{x-3}\).
2. Теперь уравнение выглядит так: \(\frac{2x-2}{x+3} - \frac{-x-3}{x-3} = 5\).
3. Заметим, что \(x \neq -3\) и \(x \neq 3\), так как знаменатели не могут быть равны нулю.
4. Приведём к общему знаменателю \((x+3)(x-3)\): \(\frac{(2x-2)(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{(-x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = 5\).
5. Раскроем скобки в числителях: \(\frac{2x^2 - 6x - 2x + 6}{(x+3)(x-3)} - \frac{-x^2 - 3x - 3x - 9}{(x+3)(x-3)} = 5\).
6. Упростим числители: \(\frac{2x^2 - 8x + 6}{(x+3)(x-3)} - \frac{-x^2 - 6x - 9}{(x+3)(x-3)} = 5\).
7. Вычтем дроби: \(\frac{(2x^2 - 8x + 6) - (-x^2 - 6x - 9)}{(x+3)(x-3)} = 5\).
8. Раскроем скобки в числителе: \(\frac{2x^2 - 8x + 6 + x^2 + 6x + 9}{(x+3)(x-3)} = 5\).
9. Упростим числитель: \(\frac{3x^2 - 2x + 15}{(x+3)(x-3)} = 5\).
10. Раскроем знаменатель: \((x+3)(x-3) = x^2 - 9\).
11. Теперь уравнение: \(\frac{3x^2 - 2x + 15}{x^2 - 9} = 5\).
12. Умножим обе части на \(x^2 - 9\): \(3x^2 - 2x + 15 = 5(x^2 - 9)\).
13. Раскроем скобки: \(3x^2 - 2x + 15 = 5x^2 - 45\).
14. Перенесём все члены в одну сторону: \(0 = 5x^2 - 3x^2 + 2x - 15 - 45\).
15. Упростим: \(2x^2 + 2x - 60 = 0\).
16. Разделим обе части на 2: \(x^2 + x - 30 = 0\).
17. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121\).
18. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6\).
19. Проверим, не равны ли корни \(-3\) или \(3\). \(5 \neq -3\), \(5 \neq 3\), \(-6 \neq -3\), \(-6 \neq 3\). Оба корня подходят.

Ответ: 5; -6.