Решить уравнение \(\frac{(a-1)x^2+ax-2}{x^2-4}=0\) при \(a = -4 + 2\sqrt{6}\)

Решение:

Заданное уравнение является дробно-рациональным. Чтобы найти корни, необходимо приравнять числитель к нулю, учитывая, что знаменатель не должен быть равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю: \( (a-1)x^2 + ax - 2 = 0 \)
2. Подставим значение \( a = -4 + 2\sqrt{6} \):

\( a-1 = (-4 + 2\sqrt{6}) - 1 = -5 + 2\sqrt{6} \)

Уравнение примет вид:

\[ (-5 + 2\sqrt{6})x^2 + (-4 + 2\sqrt{6})x - 2 = 0 \]
3. Проверим знаменатель: \( x^2 - 4 \neq 0 \), то есть \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
4. Найдем корни квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), где \( A = -5 + 2\sqrt{6} \), \( B = -4 + 2\sqrt{6} \), \( C = -2 \).
5. Вычислим дискриминант:

\[ D = B^2 - 4AC \]

\[ B^2 = (-4 + 2\sqrt{6})^2 = 16 - 16\sqrt{6} + 4 \cdot 6 = 16 - 16\sqrt{6} + 24 = 40 - 16\sqrt{6} \]

\[ 4AC = 4(-5 + 2\sqrt{6})(-2) = -8(-5 + 2\sqrt{6}) = 40 - 16\sqrt{6} \]

\[ D = (40 - 16\sqrt{6}) - (40 - 16\sqrt{6}) = 0 \]

6. Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (два совпадающих корня):

\[ x = -\frac{B}{2A} \]

\[ x = -\frac{-4 + 2\sqrt{6}}{2(-5 + 2\sqrt{6})} = \frac{4 - 2\sqrt{6}}{2(-5 + 2\sqrt{6})} = \frac{2(2 - \sqrt{6})}{2(-5 + 2\sqrt{6})} = \frac{2 - \sqrt{6}}{-5 + 2\sqrt{6}} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:

\[ x = \frac{(2 - \sqrt{6})(-5 - 2\sqrt{6})}{(-5 + 2\sqrt{6})(-5 - 2\sqrt{6})} = \frac{-10 - 4\sqrt{6} + 5\sqrt{6} + 2 \cdot 6}{25 - 4 \cdot 6} = \frac{-10 + \sqrt{6} + 12}{25 - 24} = \frac{2 + \sqrt{6}}{1} = 2 + \sqrt{6} \]

7. Проверим, не равен ли найденный корень 2 или -2:

\( 2 + \sqrt{6} \) не равно 2 и не равно -2.

8. Сравним полученный корень с предложенными вариантами.

Ответ: x = 2 + √6.