Решить уравнение (IV.134-IV.137). IV.134. 1) x⋅|x+1|+|x|⋅(x+1) = 4; 2) x⋅|x+3|+|x|⋅(x+3)= -8. 14 7 IV.135. 1) |x³ - 2| = |x³ - x+2|; 2) |8x+ - | = |8x- - |. x x³ 18 5 x x³ IV.136. 1) |3-|5-x||=3; 2) ||3x+2|-1|=3. IV.137. 1) |4√x−2|=x+1; 2) |√x-1+1|+|√x-1-1|=4.

IV.134. 1) $$x\cdot|x+1|+|x|\cdot(x+1) = 4$$;

Рассмотрим два случая:

1) $$x \ge 0$$, тогда $$|x| = x$$ и $$|x+1| = x+1$$.

Уравнение принимает вид:

$$x(x+1) + x(x+1) = 4$$

$$2x(x+1) = 4$$

$$x(x+1) = 2$$

$$x^2 + x - 2 = 0$$

$$D = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$$

Так как рассматриваем случай $$x \ge 0$$, то подходит только $$x = 1$$.

2) $$x < 0$$, тогда $$|x| = -x$$ и $$|x+1| = \begin{cases} x+1, & x \ge -1 \\ -(x+1), & x < -1 \end{cases}$$.

Рассмотрим два подслучая:

а) $$-1 \le x < 0$$, тогда уравнение принимает вид:

$$x(x+1) - x(x+1) = 4$$

$$0 = 4$$

Решений нет.

б) $$x < -1$$, тогда уравнение принимает вид:

$$-x(x+1) - x(x+1) = 4$$

$$-2x(x+1) = 4$$

$$x(x+1) = -2$$

$$x^2 + x + 2 = 0$$

$$D = 1 - 8 = -7$$

Действительных решений нет.

Ответ: 1

2) $$x\cdot|x+3|+|x|\cdot(x+3)= -8$$.

Рассмотрим два случая:

1) $$x \ge 0$$, тогда $$|x| = x$$ и $$|x+3| = x+3$$.

Уравнение принимает вид:

$$x(x+3) + x(x+3) = -8$$

$$2x(x+3) = -8$$

$$x(x+3) = -4$$

$$x^2 + 3x + 4 = 0$$

$$D = 9 - 16 = -7$$

Действительных решений нет.

2) $$x < 0$$, тогда $$|x| = -x$$ и $$|x+3| = \begin{cases} x+3, & x \ge -3 \\ -(x+3), & x < -3 \end{cases}$$.

Рассмотрим два подслучая:

а) $$-3 \le x < 0$$, тогда уравнение принимает вид:

$$x(x+3) - x(x+3) = -8$$

$$0 = -8$$

Решений нет.

б) $$x < -3$$, тогда уравнение принимает вид:

$$-x(x+3) - x(x+3) = -8$$

$$-2x(x+3) = -8$$

$$x(x+3) = 4$$

$$x^2 + 3x - 4 = 0$$

$$D = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{-3+5}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-3-5}{2} = -4$$

Так как рассматриваем случай $$x < -3$$, то подходит только $$x = -4$$.

Ответ: -4

IV.135. 1) $$|x^3 - 2| = |x^3 - x + 2|$$;

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

1) $$x^3 - 2 = x^3 - x + 2$$

$$x = 4$$

2) $$x^3 - 2 = -(x^3 - x + 2)$$

$$x^3 - 2 = -x^3 + x - 2$$

$$2x^3 - x = 0$$

$$x(2x^2 - 1) = 0$$

$$x = 0$$ или $$2x^2 - 1 = 0$$

$$x^2 = \frac{1}{2}$$

$$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $$0; \pm \frac{\sqrt{2}}{2}; 4$$

2) $$|8x+\frac{14}{x}-\frac{7}{x^3}| = |8x-\frac{18}{x}-\frac{5}{x^3}|$$.

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

1) $$8x+\frac{14}{x}-\frac{7}{x^3} = 8x-\frac{18}{x}-\frac{5}{x^3}$$

$$\frac{32}{x} - \frac{2}{x^3} = 0$$

$$\frac{32x^2 - 2}{x^3} = 0$$

$$32x^2 - 2 = 0$$

$$16x^2 - 1 = 0$$

$$x^2 = \frac{1}{16}$$

$$x = \pm \frac{1}{4}$$

2) $$8x+\frac{14}{x}-\frac{7}{x^3} = -8x+\frac{18}{x}+\frac{5}{x^3}$$

$$16x - \frac{4}{x} - \frac{12}{x^3} = 0$$

$$16x^4 - 4x^2 - 12 = 0$$

$$4x^4 - x^2 - 3 = 0$$

Пусть $$y = x^2$$, тогда

$$4y^2 - y - 3 = 0$$

$$D = 1 + 48 = 49$$

$$y_1 = \frac{1+7}{8} = 1$$

$$y_2 = \frac{1-7}{8} = -\frac{3}{4}$$

$$x^2 = 1$$ или $$x^2 = -\frac{3}{4}$$

$$x = \pm 1$$ или нет решений.

Ответ: $$-\frac{1}{4}; \frac{1}{4}; -1; 1$$

IV.136. 1) $$|3-|5-x||=3$$;

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

1) $$3 - |5-x| = 3$$

$$|5-x| = 0$$

$$5-x = 0$$

$$x = 5$$

2) $$3 - |5-x| = -3$$

$$|5-x| = 6$$

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

а) $$5-x = 6$$

$$x = -1$$

б) $$5-x = -6$$

$$x = 11$$

Ответ: -1; 5; 11

2) $$||3x+2|-1|=3$$.

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

1) $$|3x+2|-1 = 3$$

$$|3x+2| = 4$$

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

а) $$3x+2 = 4$$

$$3x = 2$$

$$x = \frac{2}{3}$$

б) $$3x+2 = -4$$

$$3x = -6$$

$$x = -2$$

2) $$|3x+2|-1 = -3$$

$$|3x+2| = -2$$

Решений нет.

Ответ: $$-2; \frac{2}{3}$$

IV.137. 1) $$|4\sqrt{x−2}|=x+1$$;

ОДЗ: $$x \ge 2$$

$$4\sqrt{x-2} = |x+1|$$

Т.к. $$x \ge 2$$, то $$x+1 > 0$$, следовательно, $$|x+1| = x+1$$.

$$4\sqrt{x-2} = x+1$$

Возведем обе части в квадрат:

$$16(x-2) = (x+1)^2$$

$$16x - 32 = x^2 + 2x + 1$$

$$x^2 - 14x + 33 = 0$$

$$D = 196 - 132 = 64$$

$$x_1 = \frac{14+8}{2} = 11$$

$$x_2 = \frac{14-8}{2} = 3$$

Оба корня подходят.

Ответ: 3; 11

2) $$|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=4$$.

ОДЗ: $$x \ge 1$$

Рассмотрим два случая:

1) $$\sqrt{x-1}-1 \ge 0$$, т.е. $$\sqrt{x-1} \ge 1$$, т.е. $$x-1 \ge 1$$, т.е. $$x \ge 2$$.

Тогда уравнение принимает вид:

$$\sqrt{x-1}+1 + \sqrt{x-1}-1 = 4$$

$$2\sqrt{x-1} = 4$$

$$\sqrt{x-1} = 2$$

$$x-1 = 4$$

$$x = 5$$

Корень подходит.

2) $$\sqrt{x-1}-1 < 0$$, т.е. $$\sqrt{x-1} < 1$$, т.е. $$x-1 < 1$$, т.е. $$x < 2$$.

Тогда уравнение принимает вид:

$$\sqrt{x-1}+1 - (\sqrt{x-1}-1) = 4$$

$$\sqrt{x-1}+1 - \sqrt{x-1}+1 = 4$$

$$2 = 4$$

Решений нет.

Ответ: 5