307 Решить уравнение: 1) log; x = 2 log5 3 + 4 log25 2; 2) log2 x 2 log 1 x = 9; 1 2 3) log3 x = 9 log278-3 log3 4; 4) logg x² x² + log √3 x = 3; 5) log2 x + logg x = 8; 6) log4 x - log16 x = 1. 4 308 Дано: log, 2 = т. Найти: log49 28. 309 Дано: lg 3 = m, lg 5 = п. Найти: log15 30. 310 Дано: log6 2 = т. Найти: log24 72. 311 Дано: log36 8 = m. Найти: log36 9.

Ответ: Решения уравнений и вычисление логарифмов представлены ниже.

307

1. \[\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2\]

   \[\log_5 x = \log_5 3^2 + \log_5 2^2\]

   \[\log_5 x = \log_5 9 + \log_5 4\]

   \[\log_5 x = \log_5 (9 \cdot 4)\]

   \[\log_5 x = \log_5 36\]

   \[x = 36\]

2. \[\log_2 x - 2 \log_{\frac{1}{2}} x = 9\]

   \[\log_2 x + 2 \log_2 x = 9\]

   \[3 \log_2 x = 9\]

   \[\log_2 x = 3\]

   \[x = 2^3\]

   \[x = 8\]

3. \[\log_3 x = 9 \log_{27} 8 - 3 \log_3 4\]

   \[\log_3 x = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 8 - 3 \log_3 4\]

   \[\log_3 x = 3 \log_3 8 - 3 \log_3 4\]

   \[\log_3 x = \log_3 8^3 - \log_3 4^3\]

   \[\log_3 x = \log_3 512 - \log_3 64\]

   \[\log_3 x = \log_3 \frac{512}{64}\]

   \[\log_3 x = \log_3 8\]

   \[x = 8\]

4. \[\log_9 x^2 + \log_{\sqrt{3}} x = 3\]

   \[2 \log_9 x + \log_{\sqrt{3}} x = 3\]

   \[2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 x + 2 \log_3 x = 3\]

   \[\log_3 x + 2 \log_3 x = 3\]

   \[3 \log_3 x = 3\]

   \[\log_3 x = 1\]

   \[x = 3\]

5. \[\log_2 x + \log_8 x = 8\]

   \[\log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 8\]

   \[\frac{4}{3} \log_2 x = 8\]

   \[\log_2 x = 6\]

   \[x = 2^6\]

   \[x = 64\]

6. \[\log_4 x - \log_{16} x = \frac{1}{4}\]

   \[\log_4 x - \frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}\]

   \[\frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}\]

   \[\log_4 x = \frac{1}{2}\]

   \[x = 4^{\frac{1}{2}}\]

   \[x = 2\]

308

Дано: \[\log_7 2 = m\]

Найти: \[\log_{49} 28\]

\[\log_{49} 28 = \frac{\log_7 28}{\log_7 49} = \frac{\log_7 (4 \cdot 7)}{2} = \frac{\log_7 4 + \log_7 7}{2} = \frac{2 \log_7 2 + 1}{2} = \frac{2m + 1}{2} = m + \frac{1}{2}\]

309

Дано: \[\lg 3 = m, \lg 5 = n\]

Найти: \[\log_{15} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 15} = \frac{\lg (3 \cdot 10)}{\lg (3 \cdot 5)} = \frac{\lg 3 + \lg 10}{\lg 3 + \lg 5} = \frac{m + 1}{m + n}\]

310

Дано: \[\log_6 2 = m\]

Найти: \[\log_{24} 72 = \frac{\log_6 72}{\log_6 24} = \frac{\log_6 (36 \cdot 2)}{\log_6 (4 \cdot 6)} = \frac{\log_6 36 + \log_6 2}{\log_6 4 + \log_6 6} = \frac{2 + m}{2 \log_6 2 + 1} = \frac{2 + m}{2m + 1}\]

311

Дано: \[\log_{36} 8 = m\]

Найти: \[\log_{36} 9\]

\[\log_{36} 9 = \log_{36} 3^2 = 2 \log_{36} 3\]

\[\log_{36} 8 = m \Rightarrow \log_{36} 2^3 = m \Rightarrow 3 \log_{36} 2 = m \Rightarrow \log_{36} 2 = \frac{m}{3}\]

\[\log_{36} 36 = 1 = \log_{36} (4 \cdot 9) = \log_{36} 4 + \log_{36} 9 = \log_{36} 2^2 + \log_{36} 9 = 2 \log_{36} 2 + \log_{36} 9 = 2 \cdot \frac{m}{3} + \log_{36} 9\]

\[1 = \frac{2m}{3} + \log_{36} 9 \Rightarrow \log_{36} 9 = 1 - \frac{2m}{3} = \frac{3 - 2m}{3}\]

Ответ: Решения уравнений и вычисление логарифмов представлены выше.