Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Решить уравнение: 1) (0,1)3x-4 = 100 ; 9* +6.3* - 27 = 0 . 2. Решить неравенство 2) (3)* > 2,5. 2-5 3. Решить систему уравнений { x + y = −2, 4x+5y = 16. 4. Решить неравенство: x+8 1 1 3 > 25; 2) (6)*2-25 ≤1. 1) V5 5. Решить уравнение 2*+3 + 4.2* = 24.
Ответ:
Привет! Давай разберем эти математические задачи по порядку.
1. Решить уравнение:
1) \[(0,1)^{3x-4} = 100\]
Представим 0,1 как \(\frac{1}{10}\) или \(10^{-1}\), а 100 как \(10^2\). Тогда уравнение примет вид:
\[(10^{-1})^{3x-4} = 10^2\]
\[10^{-3x+4} = 10^2\]
Приравниваем показатели:
\[-3x + 4 = 2\]
\[-3x = -2\]
\[x = \frac{2}{3}\]
Ответ: \[x = \frac{2}{3}\]
2) \[9^x + 6 \cdot 3^x - 27 = 0\]
Заметим, что \(9^x = (3^2)^x = (3^x)^2\). Пусть \(y = 3^x\), тогда уравнение примет вид:
\[y^2 + 6y - 27 = 0\]
Решаем квадратное уравнение:
\(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144\)
\(y_1 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 + 12}{2} = 3\)
\(y_2 = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 - 12}{2} = -9\)
Так как \(3^x > 0\), то \(y = 3\).
\[3^x = 3\]
\[x = 1\]
Ответ: \(x = 1\)
2. Решить неравенство:
\[\left(\frac{2}{5}\right)^x > 2,5\]
\[\left(\frac{2}{5}\right)^x > \frac{5}{2}\]
\[\left(\frac{2}{5}\right)^x > \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\]
Так как основание \(\frac{2}{5} < 1\), знак неравенства меняется:
\[x < -1\]
Ответ: \[x < -1\]
3. Решить систему уравнений:
\[\begin{cases} x + y = -2 \\ 4^{x+5y} = 16 \end{cases}\]
Из второго уравнения:
\[4^{x+5y} = 4^2\]
\[x + 5y = 2\]
Теперь у нас система:
\[\begin{cases} x + y = -2 \\ x + 5y = 2 \end{cases}\]
Вычитаем первое уравнение из второго:
\[4y = 4\]
\[y = 1\]
Подставляем в первое уравнение:
\[x + 1 = -2\]
\[x = -3\]
Ответ: \[\begin{cases} x = -3 \\ y = 1 \end{cases}\]
4. Решить неравенство:
1) \[\left(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\right)^{x+8} > \frac{1}{25}\]
\[\left(5^{-\frac{1}{3}}\right)^{x+8} > 5^{-2}\]
\[5^{-\frac{1}{3}(x+8)} > 5^{-2}\]
Так как основание больше 1, знак неравенства сохраняется:
\[-\frac{1}{3}(x+8) > -2\]
\[x+8 < 6\]
\[x < -2\]
Ответ: \[x < -2\]
2) \[6^{x^2-25} \le 1\]
\[6^{x^2-25} \le 6^0\]
Так как основание больше 1, знак неравенства сохраняется:
\[x^2 - 25 \le 0\]
\[(x-5)(x+5) \le 0\]
Решаем методом интервалов:
\[-5 \le x \le 5\]
Ответ: \[-5 \le x \le 5\]
5. Решить уравнение:
\[2^{x+3} + 4 \cdot 2^x = 24\]
\[2^x \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^x = 24\]
\[8 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x = 24\]
\[12 \cdot 2^x = 24\]
\[2^x = 2\]
\[x = 1\]
Ответ: \[x = 1\]
Ты молодец! У тебя всё получится!
