Решить уравнение: x^2 + (x-5) - (x^2 - x - 1)(x-5) = 0

Решение:

Раскроем скобки и упростим уравнение:

1. Перепишем уравнение: \( x^2 + (x-5) - (x^2 - x - 1)(x-5) = 0 \)
2. Раскроем вторую часть скобок: \( (x^2 - x - 1)(x-5) = x^3 - 5x^2 - x^2 + 5x - x + 5 = x^3 - 6x^2 + 4x + 5 \)
3. Подставим обратно в исходное уравнение: \( x^2 + x - 5 - (x^3 - 6x^2 + 4x + 5) = 0 \)
4. Снимем скобки, меняя знаки: \( x^2 + x - 5 - x^3 + 6x^2 - 4x - 5 = 0 \)
5. Приведём подобные члены: \( -x^3 + (x^2 + 6x^2) + (x - 4x) + (-5 - 5) = 0 \)
6. Упростим: \( -x^3 + 7x^2 - 3x - 10 = 0 \)
7. Умножим на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным: \( x^3 - 7x^2 + 3x + 10 = 0 \)
8. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (10): \( ±1, ±2, ±5, ±10 \).
9. Проверим \( x = 1 \): \( 1^3 - 7(1)^2 + 3(1) + 10 = 1 - 7 + 3 + 10 = 7 \(\neq\) 0 \)
10. Проверим \( x = -1 \): \( (-1)^3 - 7(-1)^2 + 3(-1) + 10 = -1 - 7 - 3 + 10 = -1 \(\neq\) 0 \)
11. Проверим \( x = 2 \): \( 2^3 - 7(2)^2 + 3(2) + 10 = 8 - 7(4) + 6 + 10 = 8 - 28 + 6 + 10 = -4 \(\neq\) 0 \)
12. Проверим \( x = -2 \): \( (-2)^3 - 7(-2)^2 + 3(-2) + 10 = -8 - 7(4) - 6 + 10 = -8 - 28 - 6 + 10 = -32 \(\neq\) 0 \)
13. Проверим \( x = 5 \): \( 5^3 - 7(5)^2 + 3(5) + 10 = 125 - 7(25) + 15 + 10 = 125 - 175 + 15 + 10 = -25 \(\neq\) 0 \)
14. Проверим \( x = -5 \): \( (-5)^3 - 7(-5)^2 + 3(-5) + 10 = -125 - 7(25) - 15 + 10 = -125 - 175 - 15 + 10 = -305 \(\neq\) 0 \)
15. Проверим \( x=10 \): \( 10^3 - 7(10)^2 + 3(10) + 10 = 1000 - 700 + 30 + 10 = 340 \(\neq\) 0 \)
16. Проверим \( x=-10 \): \( (-10)^3 - 7(-10)^2 + 3(-10) + 10 = -1000 - 700 - 30 + 10 = -1720 \(\neq\) 0 \)
17. Примечание: Похоже, в исходном уравнении ошибка, либо оно не имеет простых целочисленных корней. После раскрытия скобок и приведения подобных членов получается кубическое уравнение \( x^3 - 7x^2 + 3x + 10 = 0 \), которое не имеет очевидных рациональных корней.
18. Предполагая, что в условии имелось в виду: \( x^2(x-5) + (x-5) - (x^2-x-1)(x-5) = 0 \)
19. Вынесем \( (x-5) \) за скобки: \( (x-5)(x^2 + 1 - (x^2 - x - 1)) = 0 \)
20. Упростим выражение в скобках: \( x^2 + 1 - x^2 + x + 1 = x + 2 \)
21. Получаем произведение: \( (x-5)(x+2) = 0 \)
22. Корни уравнения: \( x-5 = 0 \rightarrow x = 5 \) или \( x+2 = 0 \rightarrow x = -2 \)

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -2.