4. Решить уравнение: a) 2x+6 / x²+x - x-3 / x²+3x+2 =0

a) Решим уравнение:

$$ \frac{2x+6}{x^2+x} - \frac{x-3}{x^2+3x+2} = 0 $$

Разложим знаменатели на множители:

$$ x^2+x = x(x+1) $$

$$ x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) $$

Перепишем уравнение:

$$ \frac{2x+6}{x(x+1)} - \frac{x-3}{(x+1)(x+2)} = 0 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{(2x+6)(x+2) - (x-3)x}{x(x+1)(x+2)} = 0 $$

Упростим числитель:

$$ \frac{2x^2+4x+6x+12 - x^2+3x}{x(x+1)(x+2)} = 0 $$

$$ \frac{x^2+13x+12}{x(x+1)(x+2)} = 0 $$

Решим квадратное уравнение в числителе:

$$ x^2+13x+12 = 0 $$

$$ D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 169 - 48 = 121 $$

$$ x_1 = \frac{-13 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-13 + 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

$$ x_2 = \frac{-13 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-13 - 11}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

Однако, $$x
eq 0$$, $$x
eq -1$$ и $$x
eq -2$$, поскольку эти значения обращают знаменатель в ноль. Следовательно, $$x_1 = -1$$ не является решением.

Таким образом, единственным решением является $$x = -12$$.

Ответ: x = -12