Решить уравнение: log13 (cos2x-9√2cosx-8) = 0 Варианты ответов: 1) ±3π/4 + 2πη (η ∈ Z) 2) ±5π/6 + 2πη (n∈Z) 3) ±2π/3 + πη (η ∈ Z)

Давай решим это уравнение по шагам. 1. Преобразуем уравнение: Исходное уравнение: \[ \log_{13}(\cos{2x} - 9\sqrt{2}\cos{x} - 8) = 0 \] Чтобы избавиться от логарифма, используем определение логарифма: \[ \cos{2x} - 9\sqrt{2}\cos{x} - 8 = 13^0 \] Так как \( 13^0 = 1 \), уравнение принимает вид: \[ \cos{2x} - 9\sqrt{2}\cos{x} - 8 = 1 \] 2. Упростим уравнение: Перенесем все члены в левую часть: \[ \cos{2x} - 9\sqrt{2}\cos{x} - 9 = 0 \] Используем формулу двойного угла: \( \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1 \) Подставим в уравнение: \[ 2\cos^2{x} - 1 - 9\sqrt{2}\cos{x} - 9 = 0 \] Упростим: \[ 2\cos^2{x} - 9\sqrt{2}\cos{x} - 10 = 0 \] 3. Решим квадратное уравнение относительно \(\cos{x}\): Пусть \( y = \cos{x} \), тогда уравнение: \[ 2y^2 - 9\sqrt{2}y - 10 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-9\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 162 + 80 = 242 \] Найдем корни: \[ y_{1,2} = \frac{9\sqrt{2} \pm \sqrt{242}}{4} = \frac{9\sqrt{2} \pm 11\sqrt{2}}{4} \] Тогда: \[ y_1 = \frac{9\sqrt{2} + 11\sqrt{2}}{4} = \frac{20\sqrt{2}}{4} = 5\sqrt{2} \] \[ y_2 = \frac{9\sqrt{2} - 11\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] 4. Найдем \( x \): Поскольку \( \cos{x} \) не может быть больше 1 или меньше -1, значение \( y_1 = 5\sqrt{2} \) не подходит. Тогда: \[ \cos{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Решения для \( x \): \[ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Ответ: Сравнивая полученное решение с предложенными вариантами, видим, что верный ответ соответствует варианту 1.

Ответ: 1

Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и все получится! Молодец!