Решить уравнение: 1) 2sin2x-√3sinx 2cosx+1 =0 3π 2) 2 sin³ x = cos cos(3+x) 2 3) 2 sinx + 3cos 2x + 1 = 0. 4) 4sin²x = 1 - 4 cosx; 5) √3sin2x + 2 cos²x =0. 6) 2sin2x-4cosx +3 sinx-3=0 7) 2cos2x - √2sin(x-π) + 1=0; 8) 3π + OS +1=0 2 9) cosx + 2cos(2x-) = √3 sin2x -1. 3 10) 5 - 8cos²x = sin 2x. 11) cos4x cosx +sin4x sinx=0. 12) 4 sin²x = cos(x-5) 2 13) 4 sinx + 3 cos 2x - 1 = 0. 14) 4 cos²x + sin(1+x)+1=0 3π 2 (15) cos2x + 2cos(x + x) + 1 = 0. 16) √2 OS 2 3cos 2x - 5 sinx +1 = 0. 17) 2 sin²x + 3√3sin(+ x) + 4 = 0

1) \[\frac{2\sin^2x - \sqrt{3}\sin x}{2\cos x + 1} = 0\]

Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю: \[2\cos x + 1
eq 0 \Rightarrow \cos x
eq -\frac{1}{2}\]

Решаем уравнение в числителе: \[2\sin^2x - \sqrt{3}\sin x = 0\]

\[\sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0\]

Следовательно, либо \[\sin x = 0\], либо \[2\sin x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Решения для \[\sin x = 0\]: \[x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Решения для \[\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\]: \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] или \[x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\]

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли эти решения условию \[\cos x
eq -\frac{1}{2}\]

Для \[x = \pi n\]: \[\cos(\pi n) = \pm 1
eq -\frac{1}{2}\] (все решения подходят)

Для \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\]: \[\cos(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \frac{1}{2}
eq -\frac{1}{2}\] (все решения подходят)

Для \[x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m\]: \[\cos(\frac{2\pi}{3} + 2\pi m) = -\frac{1}{2}\] (эти решения не подходят)

Ответ: \[x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\] и \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

2) \[2\sin^3 x = \cos(\frac{3\pi}{2} + x)\]

Используем формулу приведения: \[\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x\]

Тогда уравнение принимает вид: \[2\sin^3 x = \sin x\]

\[2\sin^3 x - \sin x = 0\]

\[\sin x (2\sin^2 x - 1) = 0\]

Следовательно, либо \[\sin x = 0\], либо \[2\sin^2 x - 1 = 0 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Решения для \[\sin x = 0\]: \[x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Решения для \[\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}\]: \[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] или \[x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\]

Решения для \[\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}\]: \[x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi p, p \in \mathbb{Z}\] или \[x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi q, q \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]; \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\]

3) \[2\sin^4 x + 3\cos 2x + 1 = 0\]

Используем формулу \[\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\]

Тогда уравнение принимает вид: \[2\sin^4 x + 3(1 - 2\sin^2 x) + 1 = 0\]

\[2\sin^4 x - 6\sin^2 x + 4 = 0\]

Пусть \[t = \sin^2 x\]: \[2t^2 - 6t + 4 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0\]

\[t_1 = 1, t_2 = 2\]

Тогда, либо \[\sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin x = \pm 1\]: \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Либо \[\sin^2 x = 2\] (невозможно, так как \[\sin^2 x \leq 1\])

Ответ: \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

4) \[4\sin^2 x = 1 - 4\cos x\]

Используем формулу \[\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\]

Тогда уравнение принимает вид: \[4(1 - \cos^2 x) = 1 - 4\cos x\]

\[4 - 4\cos^2 x = 1 - 4\cos x\]

\[4\cos^2 x - 4\cos x - 3 = 0\]

Пусть \[t = \cos x\]: \[4t^2 - 4t - 3 = 0\]

\[t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}\]

\[t_1 = \frac{3}{2}, t_2 = -\frac{1}{2}\]

\[\cos x = \frac{3}{2}\] (невозможно, так как \[\cos x \leq 1\])

\[\cos x = -\frac{1}{2}\]: \[x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] или \[x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

5) \(\sqrt{3}\sin 2x + 2\cos^2 x = 0\)

Используем формулу \[\sin 2x = 2\sin x \cos x\]

Тогда уравнение принимает вид: \[\sqrt{3} \cdot 2\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0\]

\[2\cos x(\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0\]

Следовательно, либо \[\cos x = 0\]: \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Либо \[\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \Rightarrow \sqrt{3} \sin x = -\cos x \Rightarrow \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\]

\[x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] и \[x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]