20) Решить уравнение x²-2x + √5-x = √5-x+8

Ответ: x = -1

1. Перенесем корень в правую часть уравнения: \[x^2 - 2x = \sqrt{5 - x + 8} - \sqrt{5 - x}\] \(x^2 - 2x = \sqrt{13 - x} - \sqrt{5 - x}\)
2. Сделаем замену \(\sqrt{5-x} = t\). Тогда \(x = 5-t^2\), а уравнение примет вид: \[(5-t^2)^2 - 2(5-t^2) = \sqrt{13 - (5-t^2)} - t\] \[25 - 10t^2 + t^4 - 10 + 2t^2 = \sqrt{8+t^2} - t\] \[t^4 - 8t^2 + 15 = \sqrt{8+t^2} - t\]
   Альтернативное решение

   Присмотревшись к условию, замечаем, что можно просто избавиться от корней, перенеся их в одну сторону и сократив: \[x^2 - 2x + \sqrt{5-x} = \sqrt{5-x} + 8\] \[x^2 - 2x = 8\] \[x^2 - 2x - 8 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[x^2 - 2x - 8 = 0\] \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]
4. Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:
   • Для x = 4: \[4^2 - 2 \cdot 4 + \sqrt{5 - 4} = \sqrt{5 - 4} + 8\] \[16 - 8 + \sqrt{1} = \sqrt{1} + 8\] \[8 + 1 = 1 + 8\] \[9 = 9 \quad \text{ (верно) }\]
   • Для x = -2: \[(-2)^2 - 2 \cdot (-2) + \sqrt{5 - (-2)} = \sqrt{5 - (-2)} + 8\] \[4 + 4 + \sqrt{7} = \sqrt{7} + 8\] \[8 + \sqrt{7} = \sqrt{7} + 8 \quad \text{ (верно) }\]
5. Оба корня (x = 4 и x = -2) удовлетворяют исходному уравнению.
6. Однако, если вернуться к замене \(\sqrt{5-x} = t\), нужно учесть, что квадратный корень не может быть отрицательным. Проверим, какие значения t получаются для найденных x:
   • Для x = 4: \(t = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1\) (подходит)
   • Для x = -2: \(t = \sqrt{5 - (-2)} = \sqrt{7}\) (подходит)
7. Теперь рассмотрим другой вариант решения, который также приводит к корням x = 4 и x = -2, но более простым путем. Исходное уравнение: \(x^2 - 2x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 8\) Перенесем корень из правой части в левую, тогда корни сократятся: \[x^2 - 2x = 8\] \[x^2 - 2x - 8 = 0\] Решая квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\), как показано выше, получаем корни x = 4 и x = -2.

Ответ: x = -2, x = 4