Решить уравнение: (x-2)(x²+2x+1)=4(x+1)

Для решения уравнения $$(x-2)(x^2+2x+1)=4(x+1)$$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Представим $$x^2+2x+1$$ как квадрат суммы, а именно: $$x^2+2x+1 = (x+1)^2$$. Тогда уравнение примет вид: $$(x-2)(x+1)^2 = 4(x+1)$$

2. Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$(x-2)(x+1)^2 - 4(x+1) = 0$$

3. Вынесем общий множитель (x+1) за скобки: $$(x+1)((x-2)(x+1)-4) = 0$$

4. Раскроем скобки во второй скобке: $$(x+1)(x^2+x-2x-2-4) = 0$$

   Приведем подобные члены: $$(x+1)(x^2-x-6) = 0$$

5. Разложим квадратный трехчлен $$x^2-x-6$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$x^2-x-6=0$$. Используем формулу для нахождения дискриминанта: $$D = b^2-4ac$$. В данном случае a=1, b=-1, c=-6, следовательно: $$D = (-1)^2-4(1)(-6) = 1+24 = 25$$

   Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{1+\sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{1-\sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2$$

   Тогда $$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$$. Таким образом, уравнение принимает вид: $$(x+1)(x-3)(x+2) = 0$$

6. Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю: $$x+1=0 \Rightarrow x_1 = -1$$ $$x-3=0 \Rightarrow x_2 = 3$$ $$x+2=0 \Rightarrow x_3 = -2$$

Ответ: x₁ = -1, x₂ = 3, x₃ = -2