Решить уравнения: 1. cos²x = 3 - 4 2. sin²x - sinx - 2 = 0 3. sin²x 3cosx = 0 - 4. sinx cosx = 0 - 5. sinx + cosx = √2

Question

Вопрос:

Решить уравнения: 1. cos²x = 3 - 4 2. sin²x - sinx - 2 = 0 3. sin²x 3cosx = 0 - 4. sinx cosx = 0 - 5. sinx + cosx = √2

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Решаем каждое тригонометрическое уравнение по очереди, используя известные формулы и методы решения.

1. cos²x = 3/4

Шаг 1: Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.
\[\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Шаг 2: Решаем для каждого случая.
\[x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
\[x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

2. sin²x - sinx - 2 = 0

Шаг 1: Делаем замену переменной: пусть t = sinx.
Уравнение принимает вид: t² - t - 2 = 0.
Шаг 2: Решаем квадратное уравнение относительно t.
Дискриминант: D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
Корни: t₁ = (1 + 3) / 2 = 2, t₂ = (1 - 3) / 2 = -1.
Шаг 3: Возвращаемся к исходной переменной.
sinx = 2 (не имеет решений, так как |sinx| ≤ 1).
sinx = -1.
Шаг 4: Решаем уравнение sinx = -1.
\[x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

3. sin²x - 3cosx = 0

Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1, откуда sin²x = 1 - cos²x.
Уравнение принимает вид: 1 - cos²x - 3cosx = 0.
Шаг 2: Делаем замену переменной: пусть t = cosx.
Уравнение принимает вид: 1 - t² - 3t = 0 или t² + 3t - 1 = 0.
Шаг 3: Решаем квадратное уравнение относительно t.
Дискриминант: D = 3² - 4 * 1 * (-1) = 9 + 4 = 13.
Корни: t₁ = (-3 + √13) / 2, t₂ = (-3 - √13) / 2.
Шаг 4: Возвращаемся к исходной переменной.
\[\cos x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\]
\[x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
\[\cos x = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\] (не имеет решений, так как \[\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < -1\])

4. sinx - cosx = 0

Шаг 1: Переносим cosx в правую часть уравнения: sinx = cosx.
Шаг 2: Делим обе части уравнения на cosx (при условии, что cosx ≠ 0).
tgx = 1.
Шаг 3: Решаем уравнение tgx = 1.
\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

5. sinx + cosx = √2

Шаг 1: Делим обе части уравнения на √2.
\[\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = 1\]
Шаг 2: Замечаем, что \[\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}\]
Уравнение принимает вид: \[\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = 1\]
Шаг 3: Используем формулу синуса суммы: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).
\[\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\]
Шаг 4: Решаем уравнение.
\[x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
\[x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: 1. x = ±π/6 + 2πk, k ∈ ℤ; 2. x = -π/2 + 2πk, k ∈ ℤ; 3. x = ±arccos((-3 + √13)/2) + 2πk, k ∈ ℤ; 4. x = π/4 + πk, k ∈ ℤ; 5. x = π/4 + 2πk, k ∈ ℤ