Решить уравнения (фрагмент страницы с упражнениями 152—161; номера отдельных упражнений на левой стороне обрезаны): 1) √(x + 1) = 3; 2) √(x − 2) = 5; 3) √(4 + x) = √(2x − 1); 1) ∛(2x + 3) = 1; 2) ∛(1 − x) = 2; 3) ∛(3x² − 3) = ∛(8x); 1) x + 1 = √(1 − x); 2) x = 1 + √(x + 11); 3) √(x + 3) = √(5 − x); 4) √(x² − x − 3) = 3; 1) √x − x = −12; 2) x + √x = 2(x − 1); 1) √(x − 1) = x − 3; 4) √(6 + x − x²) = 1 − x; 1) √(2x − 34) = 1 + √x; 2) √(5x) + √(14 − x) = 8; 1) √(15 + x) + √(3 + x) = 6; 4) √(3 − 2x) − √(1 − x) = 1.

1. √(x + 1) = 3. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = 9, поэтому x = 8.
2. √(x − 2) = 5. Тогда x − 2 = 25, поэтому x = 27.
3. Приравниваем подкоренные выражения: x + 4 = 2x − 1, откуда x = 5. Проверка: обе части равны 3.
4. ∛(2x + 3) = 1. Возводим обе части в куб: 2x + 3 = 1, поэтому x = −1.
5. ∛(1 − x) = 2. Тогда 1 − x = 8, поэтому x = −7.
6. Равные кубические корни имеют равные подкоренные выражения: 3x² − 3 = 8x. Получаем 3x² − 8x − 3 = 0; корни уравнения — 3 и −1/3. Оба подходят.
7. Область допустимых значений и неотрицательность правой части требуют −1 ≤ x ≤ 1. После возведения в квадрат: (x + 1)² = 1 − x, то есть x(x + 3) = 0. Из найденных корней условию подходит только x = 0.
8. Из уравнения следует x ≥ 1. Возводим в квадрат: (x − 1)² = x + 11, откуда x² − 3x − 10 = 0. Корни 5 и −2; условию подходит x = 5.
9. Обе части неотрицательны при −3 ≤ x ≤ 5. Приравниваем подкоренные выражения: x + 3 = 5 − x, откуда x = 1.
10. Возводим в квадрат: x² − x − 3 = 9, то есть x² − x − 12 = 0. Получаем x = 4 или x = −3; оба корня подходят.
11. Положим t = √x, где t ≥ 0. Тогда t − t² = −12, или t² − t − 12 = 0. Из корней 4 и −3 допустим t = 4, поэтому x = 16.
12. Положим t = √x, где t ≥ 0. Тогда t² + t = 2(t² − 1), откуда t² − t − 2 = 0. Допустим t = 2, следовательно, x = 4.
13. Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому x ≥ 3. Возводим в квадрат: x − 1 = (x − 3)². Получаем x² − 7x + 10 = 0, корни 2 и 5; условию подходит x = 5.
14. Правая часть требует x ≤ 1. После возведения в квадрат: 6 + x − x² = (1 − x)², откуда 2x² − 3x − 5 = 0. Корни −1 и 5/2; условию подходит x = −1.
15. Положим t = √x, t ≥ 0. Тогда 2t² − 34 = (1 + t)², откуда t² − 2t − 35 = 0. Допустим t = 7, поэтому x = 49.
16. Положим a = √(5x), b = √(14 − x). Тогда a + b = 8 и a²/5 + b² = 14. Подставляем b = 8 − a: получаем 3a² − 40a + 125 = 0, откуда a = 5 или 25/3. Значению a = 25/3 соответствует x = 125/9 > 14, что не входит в область допустимых значений. При a = 5 имеем x = 5; проверка: √25 + √9 = 8.
17. Положим t = √(x + 3), t ≥ 0. Тогда √(t² + 12) + t = 6. При переносе и возведении в квадрат получаем t² + 12 = (6 − t)², откуда t = 2 (значение t = 6 не подходит исходному равенству). Следовательно, x + 3 = 4 и x = 1.
18. Область допустимых значений: x ≤ 1. Положим t = √(1 − x), t ≥ 0. Тогда √(1 + 2t²) − t = 1. После возведения в квадрат: 1 + 2t² = (1 + t)², то есть t(t − 2) = 0. Значит, t = 0 или 2, что даёт x = 1 или x = −3. Оба значения проверяются в исходном уравнении.

Ответ: √(x + 1) = 3 — 8; √(x − 2) = 5 — 27; √(4 + x) = √(2x − 1) — 5; ∛(2x + 3) = 1 — −1; ∛(1 − x) = 2 — −7; ∛(3x² − 3) = ∛(8x) — −1/3, 3; x + 1 = √(1 − x) — 0; x = 1 + √(x + 11) — 5; √(x + 3) = √(5 − x) — 1; √(x² − x − 3) = 3 — −3, 4; √x − x = −12 — 16; x + √x = 2(x − 1) — 4; √(x − 1) = x − 3 — 5; √(6 + x − x²) = 1 − x — −1; √(2x − 34) = 1 + √x — 49; √(5x) + √(14 − x) = 8 — 5; √(15 + x) + √(3 + x) = 6 — 1; √(3 − 2x) − √(1 − x) = 1 — −3, 1.