Решить уравнения с модулем: а) |x − 5| = 3; б) |6 + 5x| = 2; в) |x + 1| = |3 − x|; г) ||x + 3| − 4| = 1; д) |3x − 5| = 3; е) |8 − x| = 1; ж) 3|x + 1| = |1 − 2x|; з) |||x − 3| + 3| − 3| = 2; и) |7x − 4| = 8; к) |2x − 3| = 1; л) |2x − 9| = |3 − x|; м) |2 − |5 − x|| = 2.

1. а) По правилу \(|A|=b\), если \(b\geq0\), то \(A=b\) или \(A=-b\):

   \(x-5=3\) или \(x-5=-3\), откуда \(x=8\) или \(x=2\).

2. б) \(6+5x=2\) или \(6+5x=-2\). Следовательно, \(x=-\frac45\) или \(x=-\frac85\).

3. в) Равенство модулей означает равенство выражений либо противоположность:

   \(x+1=3-x\), откуда \(x=1\); или \(x+1=-(3-x)\), то есть \(x+1=x-3\), что невозможно. Ответ: \(x=1\).

4. г) Последовательно раскрываем внешний модуль:

   \(|x+3|-4=1\) или \(|x+3|-4=-1\). Получаем \(|x+3|=5\) или \(|x+3|=3\), поэтому \(x=2,-8,-0,-6\).

5. д) \(3x-5=3\) или \(3x-5=-3\). Отсюда \(x=\frac83\) или \(x=\frac23\).

6. е) \(8-x=1\) или \(8-x=-1\). Отсюда \(x=7\) или \(x=9\).

7. ж) Разбиваем по точкам смены знака \(x=-1\) и \(x=\frac12\).

   При \(x<-1\): \(-3(x+1)=1-2x\), откуда \(x=-4\).

   При \(-1\leq x\leq\frac12\): \(3(x+1)=1-2x\), откуда \(x=-\frac25\).

   При \(x>\frac12\): \(3(x+1)=2x-1\), откуда \(x=-4\), но это не принадлежит промежутку.

   Ответ: \(x=-4,-\frac25\).

8. з) Так как \(|x-3|+3\geq3\), выражение \(|x-3|+3\) неотрицательно, и уравнение упрощается:

   \(||x-3|+3|-3|=2\) → \(|x-3|=2\). Значит, \(x=1\) или \(x=5\).

9. и) \(7x-4=8\) или \(7x-4=-8\). Отсюда \(x=\frac{12}{7}\) или \(x=-\frac47\).

10. к) \(2x-3=1\) или \(2x-3=-1\). Отсюда \(x=2\) или \(x=1\).

11. л) \(2x-9=3-x\) или \(2x-9=-(3-x)\). Из первого уравнения \(x=4\), из второго \(x=6\).

12. м) Рассмотрим \(|5-x|\geq0\). Уравнение \(|2-|5-x||=2\) даёт \(2-|5-x|=2\) или \(2-|5-x|=-2\). Поэтому \(|5-x|=0\) или \(|5-x|=4\), откуда \(x=5\) или \(x=1,9\).

Ответ: а) 2, 8; б) −4/5, −8/5; в) 1; г) −8, −6, 0, 2; д) 2/3, 8/3; е) 7, 9; ж) −4, −2/5; з) 1, 5; и) −4/7, 12/7; к) 1, 2; л) 4, 6; м) 1, 5, 9.