Решить уравнения с применением схемы Горнера: 2) x⁴ − 6x³ + 7x² + 18 = 0

Отсутствующий коэффициент при \(x\) равен нулю. Коэффициенты многочлена: \(1,\ -6,\ 7,\ 0,\ 18\).

Подберём корень: \(x=3\). По схеме Горнера:

\(3\ \rightarrow\ 1,\ -3,\ -2,\ -6,\ 0\).

Значит,

\(x^4-6x^3+7x^2+18=(x-3)(x^3-3x^2-2x-6)\).

Рациональных корней у кубического многочлена \(x^3-3x^2-2x-6\) нет. Сделаем замену \(x=y+1\):

\(y^3-5y-10=0\).

Единственный действительный корень:

\(y=\sqrt[3]{5+\sqrt{\frac{550}{27}}}+\sqrt[3]{5-\sqrt{\frac{550}{27}}}\approx2.905\).

Поэтому \(x=y+1\approx3.905\). Два остальных корня комплексные:

\(x\approx-0.4525\pm1.725i\).

Ответ: \(x_1=3;\ x_2\approx3.905;\ x_{3,4}\approx-0.4525\pm1.725i\).