Решить уравнения с разделяющимися переменными: 403. xy dx+(x+1)dy=0, 404. \(\sqrt{y^2+1}\) dx - xy dy = 0. 405. e^{-s} \(1+\frac{ds}{dt}\) = 1. 406. y' - xy^2 = 2xy.

Решение:

403.
Уравнение с разделяющимися переменными:

\( xy dx + (x+1) dy = 0 \)

Разделим переменные:

\( \frac{dx}{x} = -\frac{dy}{y} \)

Интегрируем обе части:

\( \int \frac{dx}{x} = -\int \frac{dy}{y} \)

\( \ln|x| = -\ln|y| + C \)

\( \ln|x| + \ln|y| = C \)

\( \ln|xy| = C \)

\( xy = e^C \)

\( xy = K \), где \( K \) — произвольная постоянная.

404.
Уравнение с разделяющимися переменными:

\( \sqrt{y^2+1} dx - xy dy = 0 \)

Разделим переменные:

\( \frac{dx}{x} = \frac{y}{\sqrt{y^2+1}} dy \)

Интегрируем обе части:

\( \int \frac{dx}{x} = \int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}} dy \)

\( \ln|x| = \frac{1}{2} \int \frac{2y}{\sqrt{y^2+1}} dy \)

Сделаем замену \( u = y^2+1 \), \( du = 2y dy \):

\( \ln|x| = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} \)

\( \ln|x| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} + C \)

\( \ln|x| = \sqrt{y^2+1} + C \)

405.
Уравнение с разделяющимися переменными:

\( e^{-s} (1+\frac{ds}{dt}) = 1 \)

\( 1 + \frac{ds}{dt} = \frac{1}{e^{-s}} = e^s \)

\( \frac{ds}{dt} = e^s - 1 \)

Разделим переменные:

\( \frac{ds}{e^s-1} = dt \)

Интегрируем обе части:

\( \int \frac{ds}{e^s-1} = \int dt \)

Для интеграла \( \int \frac{ds}{e^s-1} \) сделаем замену \( u = e^s \), \( du = e^s ds \), \( ds = \frac{du}{u} \):

\( \int \frac{1}{u-1} \frac{du}{u} = \int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}) du \)

\( = \ln|u-1| - \ln|u| + C_1 = \ln|\frac{u-1}{u}| + C_1 \)

\( = \ln|\frac{e^s-1}{e^s}| + C_1 = \ln|1 - e^{-s}| + C_1 \)

Таким образом:

\( \ln|1 - e^{-s}| = t + C \)

406.
Не является уравнением с разделяющимися переменными. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

\( y' - xy^2 = 2xy \)

Это уравнение Риккати. Для решения такого типа уравнений требуется дополнительная информация или метод, выходящий за рамки разделения переменных.

Ответ:

403.
\( xy = K \)

404.
\( \ln|x| = \sqrt{y^2+1} + C \)

405.
\( \ln|1 - e^{-s}| = t + C \)

406.
Уравнение не решается методом разделения переменных.