4. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 4cos²x = 1; 6) 3sin²x + sinx – 4 = 0; B) tg²x + 2tgx - 3 = 0; r) 2sin²x – 3cosx = 0;.

a) Решим уравнение $$4\cos^2x = 1$$.

$$\cos^2x = \frac{1}{4}$$

$$\cos x = \pm \frac{1}{2}$$

$$x = \pm \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

б) Решим уравнение $$3\sin^2x + \sin x - 4 = 0$$.

Пусть $$y = \sin x$$, тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 + y - 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$$

$$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

$$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$

Вернемся к замене:

1) $$\sin x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2) $$\sin x = -\frac{4}{3}$$

Так как $$|\sin x| \le 1$$, то уравнение не имеет решений.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

в) Решим уравнение $$\tan^2x + 2\tan x - 3 = 0$$.

Пусть $$y = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$y^2 + 2y - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Вернемся к замене:

1) $$\tan x = 1$$

$$x = \arctan 1 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2) $$\tan x = -3$$

$$x = \arctan(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ и $$x = \arctan(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

г) Решим уравнение $$2\sin^2x - 3\cos x = 0$$.

Выразим $$\sin^2x$$ через $$\cos^2x$$:

$$2(1 - \cos^2x) - 3\cos x = 0$$

$$2 - 2\cos^2x - 3\cos x = 0$$

$$-2\cos^2x - 3\cos x + 2 = 0$$

$$2\cos^2x + 3\cos x - 2 = 0$$

Пусть $$y = \cos x$$, тогда уравнение примет вид:

$$2y^2 + 3y - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

$$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Вернемся к замене:

1) $$\cos x = \frac{1}{2}$$

$$x = \pm \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2) $$\cos x = -2$$

Так как $$|\cos x| \le 1$$, то уравнение не имеет решений.

Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$