Решить уравнения: 1) (3x-4)² - 5(3x-4) + 6 = 0 2) x⁴ - 10x² + 9 = 0 3) (x² + x - 1)(x² + x + 2) = 40

Решим уравнения:

1) $$ (3x-4)^2 - 5(3x-4) + 6 = 0 $$

Пусть $$ t = 3x - 4 $$, тогда уравнение примет вид:

$$ t^2 - 5t + 6 = 0 $$

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $$

$$ t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3 $$

$$ t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2 $$

Теперь вернемся к замене:

$$ 3x - 4 = 3 $$ или $$ 3x - 4 = 2 $$

$$ 3x = 7 $$ или $$ 3x = 6 $$

$$ x_1 = \frac{7}{3} $$ или $$ x_2 = 2 $$

Ответ: $$ x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = 2 $$

---

2) $$ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 $$

Пусть $$ t = x^2 $$, тогда уравнение примет вид:

$$ t^2 - 10t + 9 = 0 $$

$$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 $$

$$ t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9 $$

$$ t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1 $$

Теперь вернемся к замене:

$$ x^2 = 9 $$ или $$ x^2 = 1 $$

$$ x_1 = 3, x_2 = -3 $$ или $$ x_3 = 1, x_4 = -1 $$

Ответ: $$ x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 1, x_4 = -1 $$

---

3) $$ (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40 $$

Пусть $$ t = x^2 + x $$, тогда уравнение примет вид:

$$ (t - 1)(t + 2) = 40 $$

$$ t^2 + 2t - t - 2 = 40 $$

$$ t^2 + t - 42 = 0 $$

$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 $$

$$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = 6 $$

$$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 - 13}{2} = -7 $$

Теперь вернемся к замене:

$$ x^2 + x = 6 $$ или $$ x^2 + x = -7 $$

$$ x^2 + x - 6 = 0 $$ или $$ x^2 + x + 7 = 0 $$

Для первого уравнения:

$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$

$$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $$

$$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $$

Для второго уравнения:

$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27 $$

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $$ x_1 = 2, x_2 = -3 $$