Решить в целых числах уравнение \(x^4=y^4+2y^2+157\).

Перепишем правую часть как квадрат плюс постоянное слагаемое:

\(x^4=(y^2+1)^2+156\).

Если \(|y|\ge 9\), то \(2y^2+3>156\), поэтому

\((y^2+1)^2 < (y^2+1)^2+156 < (y^2+2)^2\).

Но \(x^4=(x^2)^2\) — квадрат целого числа, а между квадратами соседних целых чисел квадратов нет. Значит, при \(|y|\ge9\) решений не существует.

Остаётся проверить \(y=0,\pm1,pm2,pm3,pm4,pm5,pm6,pm7,pm8\). Правая часть уравнения для неотрицательных значений \(|y|=0,1,\ldots,8\) равна соответственно \(157,160,193,256,445,832,1525,2656,4381\). Только \(256=4^4\).

Следовательно, \(y=\pm3\), а \(x=\pm4\). Проверка: \(4^4=3^4+2\cdot3^2+157=256\).

Ответ: \((x,y)=(4,3), (4,-3), (-4,3), (-4,-3)\).