Решить задачи: Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 2) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 288 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 3) Путь длиной 76 км первый велосипедист проезжает на 50 минут быстрее второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение задачи 1

Пусть x км/ч - собственная скорость лодки.

Тогда скорость лодки против течения: (x - 4) км/ч, а по течению: (x + 4) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: 140 / (x - 4) часов, а по течению: 140 / (x + 4) часов.

Из условия задачи известно, что на обратный путь лодка затратила на 2 часа меньше, поэтому:

\[\frac{140}{x-4} - \frac{140}{x+4} = 2\]

Решаем уравнение:

\[\frac{140(x+4) - 140(x-4)}{(x-4)(x+4)} = 2\] \[\frac{140x + 560 - 140x + 560}{x^2 - 16} = 2\] \[\frac{1120}{x^2 - 16} = 2\] \[1120 = 2(x^2 - 16)\] \[1120 = 2x^2 - 32\] \[2x^2 = 1152\] \[x^2 = 576\] \[x = \sqrt{576}\] \[x = 24\]

Собственная скорость лодки равна 24 км/ч.

Решение задачи 2

Пусть x км/ч - собственная скорость катера.

Тогда скорость катера против течения: (x - 4) км/ч, а по течению: (x + 4) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: 288 / (x - 4) часов, а по течению: 288 / (x + 4) часов.

Из условия задачи известно, что на обратный путь катер затратил на 3 часа меньше, поэтому:

\[\frac{288}{x-4} - \frac{288}{x+4} = 3\]

Решаем уравнение:

\[\frac{288(x+4) - 288(x-4)}{(x-4)(x+4)} = 3\] \[\frac{288x + 1152 - 288x + 1152}{x^2 - 16} = 3\] \[\frac{2304}{x^2 - 16} = 3\] \[2304 = 3(x^2 - 16)\] \[2304 = 3x^2 - 48\] \[3x^2 = 2352\] \[x^2 = 784\] \[x = \sqrt{784}\] \[x = 28\]

Получаем, что скорость катера в стоячей воде = 28 км/ч

Тогда скорость по течению 28 + 4 = 32 км/ч, а против течения 28 - 4 = 24 км/ч

Пусть t - время в пути против течения, тогда t - 3 время в пути по течению

Получаем уравнение 24t + 32(t - 3) = 288 + 288

24t + 32t - 96 = 576

56t = 672

t = 12

Получается 288/ (12-3) = 32

Получается 288/12 = 24

24 * 12 = 288

32 * 9 = 288

24 + 20 = 44

Собственная скорость катера равна 44 км/ч.

Решение задачи 3

Пусть x км/ч - скорость второго велосипедиста.

Тогда скорость первого велосипедиста: (x + 5) км/ч.

Время, затраченное первым велосипедистом: 76 / (x + 5) часов, а вторым: 76 / x часов.

Из условия задачи известно, что первый велосипедист проехал путь на 50 минут быстрее второго. 50 минут = 50/60 часа = 5/6 часа.

Тогда:

\[\frac{76}{x} - \frac{76}{x+5} = \frac{5}{6}\]

Решаем уравнение:

\[\frac{76(x+5) - 76x}{x(x+5)} = \frac{5}{6}\] \[\frac{76x + 380 - 76x}{x^2 + 5x} = \frac{5}{6}\] \[\frac{380}{x^2 + 5x} = \frac{5}{6}\] \[380 \cdot 6 = 5(x^2 + 5x)\] \[2280 = 5x^2 + 25x\] \[5x^2 + 25x - 2280 = 0\] \[x^2 + 5x - 456 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-456) = 25 + 1824 = 1849\] \[x = \frac{-5 \pm \sqrt{1849}}{2} = \frac{-5 \pm 43}{2}\]

Т.к. скорость не может быть отрицательной, то:

\[x = \frac{-5 + 43}{2} = \frac{38}{2} = 19\]

Скорость второго велосипедиста равна 19 км/ч.