Решить задачи: 1. Радиус шара, описанного около куба, равен 3. Найдите площадь поверхности куба. 2. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на п. 3. В куб вписан шар радиуса 3 Найдите площадь поверхности куба. 4. В цилиндр, объем которого равен 250 л, вписан шар. Найти его объем. 5. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра. 6. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 27.

Давай решим эти задачи по геометрии. Уверена, у нас всё получится! Задача 1: Радиус шара, описанного около куба, равен 3. Нужно найти площадь поверхности куба. 1. Связь радиуса шара и диагонали куба: Диагональ куба равна диаметру описанного шара, то есть 2 * R = 2 * 3 = 6. 2. Связь диагонали куба и стороны куба: Если сторона куба равна a, то диагональ куба равна \( a\sqrt{3} \). Следовательно, \( a\sqrt{3} = 6 \), откуда \( a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \). 3. Площадь поверхности куба: Площадь поверхности куба равна \( 6a^2 \). Подставляем значение a: \( 6 \cdot (2\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 12 = 72 \).

Ответ: 72

Задача 2: В куб с ребром 3 вписан шар. Найти объем этого шара, деленный на π. 1. Радиус шара: Радиус шара, вписанного в куб, равен половине ребра куба. То есть, \( r = \frac{3}{2} \). 2. Объем шара: Объем шара равен \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \). Подставляем значение r: \( V = \frac{4}{3} \pi (\frac{3}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{2} \pi \). 3. Объем, деленный на π: Делим полученный объем на π: \( \frac{V}{\pi} = \frac{9}{2} \).

Ответ: 4.5

Задача 3: В куб вписан шар радиуса 3. Найдите площадь поверхности куба. 1. Сторона куба: Если в куб вписан шар радиуса 3, то ребро куба равно диаметру шара, то есть \( a = 2 \cdot 3 = 6 \). 2. Площадь поверхности куба: Площадь поверхности куба равна \( 6a^2 \). Подставляем значение a: \( 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216 \).

Ответ: 216

Задача 4: В цилиндр, объем которого равен 250π, вписан шар. Найти его объем. 1. Связь объема цилиндра и шара: Если в цилиндр вписан шар, то диаметр шара равен высоте цилиндра, а радиус шара равен радиусу основания цилиндра. 2. Объем цилиндра: Объем цилиндра равен \( V_{цил} = \pi r^2 h \). По условию, \( \pi r^2 h = 250\pi \), значит \( r^2 h = 250 \). 3. Связь радиуса и высоты: Так как шар вписан, то \( h = 2r \. Подставляем в уравнение: \( r^2 (2r) = 250 \), откуда \( 2r^3 = 250 \), и \( r^3 = 125 \). Следовательно, \( r = 5 \). 4. Объем шара: Объем шара равен \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 \). Подставляем значение r: \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi \).

Ответ: \[\frac{500\pi}{3}\]

Задача 5: Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найти объем цилиндра. 1. Связь объема шара и цилиндра: Если цилиндр описан около шара, то диаметр шара равен высоте цилиндра, а радиус шара равен радиусу основания цилиндра. 2. Объем шара: Объем шара равен \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 \). По условию, \( \frac{4}{3} \pi r^3 = 24 \). 3. Объем цилиндра: Объем цилиндра равен \( V_{цил} = \pi r^2 h \). Так как \( h = 2r \), то \( V_{цил} = 2\pi r^3 \). 4. Выражаем объем цилиндра через объем шара: Из уравнения объема шара выразим \( \pi r^3 = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18 \). Тогда \( V_{цил} = 2 \cdot 18 = 36 \).

Ответ: 36

Задача 6: Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 27. 1. Связь объема конуса и цилиндра: Если конус вписан в цилиндр и имеет общее основание и высоту, то объем конуса равен \( \frac{1}{3} \) объема цилиндра. 2. Объем конуса: Объем конуса равен \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \). По условию, \( V_{конуса} = 27 \). 3. Объем цилиндра: Объем цилиндра равен \( V_{цил} = \pi r^2 h \). Следовательно, \( V_{цил} = 3 \cdot V_{конуса} = 3 \cdot 27 = 81 \).

Ответ: 81

Умничка! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!