Решить Задачи: Дано, Найти, Решение, Ответ + Рисунок должны быть в тетради в каждой Задаче! № 1. Дано: ВМ = 5 см. Найти: МЕ. № 2. Дано: АВ = АС, AP = PQ QR = RB = BC. Найти: ДА.

№1

Рассмотрим треугольник ABM.

• Т.к. ∠A = 60°, то ∠ABM = 90° - 60° = 30° (т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°).
• BM = 5 см (дано).

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AM = 2 * BM = 2 * 5 = 10 см.

Рассмотрим треугольник ABC.

• ∠A = 60° (дано).
• AB = AC (по условию, значит, треугольник равнобедренный).
• Следовательно, ∠B = ∠C = (180° - 60°) / 2 = 60°.

Т.к. все углы равны 60°, то треугольник ABC – равносторонний, значит, AB = BC = AC.

Т.к. AM – медиана (по условию), то M – середина AC, значит, AM = MC = 10 см. Следовательно, AC = AM + MC = 10 + 10 = 20 см.

Рассмотрим треугольник MEC.

• ∠MEC = ∠ABE = 30° (т.к. BE – биссектриса).
• ∠C = 60°.
• Значит, ∠EMC = 180° - 30° - 60° = 90°.

В прямоугольном треугольнике MEC против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, значит, MC = 2 * ME, следовательно, ME = MC / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Ответ: ME = 5 см

№2

Рассмотрим треугольник ABC.

• AB = AC (дано, значит, треугольник равнобедренный).
• AP = PQ = QR = RB = BC (дано).
• Нужно найти ∠A.

Пусть ∠B = x, тогда ∠C = x (т.к. треугольник ABC равнобедренный). Т.к. RB = BC, то треугольник RBC – равнобедренный, значит, ∠CRB = ∠C = x.

∠PQR – внешний угол треугольника RBC, следовательно, ∠PQR = ∠CRB + ∠C = x + x = 2x.

Т.к. PQ = QR, то треугольник PQR – равнобедренный, значит, ∠QPR = ∠PQR = 2x.

∠BPA – внешний угол треугольника PQR, следовательно, ∠BPA = ∠PQR + ∠QRP = 2x + 2x = 4x.

Т.к. AP = PB, то треугольник APB – равнобедренный, значит, ∠A = ∠BPA = 4x.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, значит, ∠A + ∠B + ∠C = 180°, следовательно, 4x + x + x = 180°, значит, 6x = 180°, следовательно, x = 30°.

Тогда ∠A = 4 * x = 4 * 30° = 120°.

Ответ: ∠A = 120°