решить задачу: Около четырёхугольника ABCD описана окружность, АВ=5, BC=6, CD=7, DA=8. Полупериметр равен 13. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Решение:

1. Определение типа четырехугольника: Четырехугольник, около которого описана окружность, является вписанным.
2. Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты): Площадь вписанного четырехугольника можно найти по формуле: \( S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \), где \( p \) — полупериметр, а \( a, b, c, d \) — длины сторон четырехугольника.
3. Подстановка значений:
• Стороны: \( a=5 \), \( b=6 \), \( c=7 \), \( d=8 \).
• Полупериметр: \( p = 13 \).
4. Вычисление площади:
• \( p-a = 13-5 = 8 \)
• \( p-b = 13-6 = 7 \)
• \( p-c = 13-7 = 6 \)
• \( p-d = 13-8 = 5 \)
• \( S = \sqrt{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} \)
• \( S = \sqrt{1680} \)
• \( S = \sqrt{16 \cdot 105} \)
• \( S = 4\sqrt{105} \)

Ответ: Площадь четырёхугольника ABCD равна 4\(\sqrt{105}\).