Решить задачу: Три сплава содержат медь в количестве 10%, 30% и 50%. Сколько кг каждого сплава нужно взять, чтобы получить 20 кг сплава с содержанием меди 35%, если масса первого сплава в 2 раза больше массы второго? Составить систему из 3 уравнений, решить методом Крамера.

Шаг 1. Обозначим через \(x\), \(y\) и \(z\) массы сплавов с содержанием меди 10%, 30% и 50% соответственно.

Общая масса равна 20 кг. В готовом сплаве меди должно быть \(0.35\cdot20=7\) кг. Масса первого сплава вдвое больше массы второго.

Шаг 2. Составим систему:

\[\begin{cases}x+y+z=20,\\0.1x+0.3y+0.5z=7,\\x-2y=0.\end{cases}\]

Шаг 3. Вычислим главный определитель и определители Крамера:

\[\Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\0.1&0.3&0.5\\1&-2&0\end{vmatrix}=1,\quad \Delta_x=\begin{vmatrix}20&1&1\\7&0.3&0.5\\0&-2&0\end{vmatrix}=6,\]

\[\Delta_y=\begin{vmatrix}1&20&1\\0.1&7&0.5\\1&0&0\end{vmatrix}=3,\quad \Delta_z=\begin{vmatrix}1&1&20\\0.1&0.3&7\\1&-2&0\end{vmatrix}=11.\]

Шаг 4. По формулам Крамера:

\[x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=6,\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=3,\qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=11.\]

Проверка: \(6+3+11=20\); меди \(0.1\cdot6+0.3\cdot3+0.5\cdot11=0.6+0.9+5.5=7\) кг; \(6=2\cdot3\).

Ответ: 6 кг сплава с 10% меди, 3 кг сплава с 30% меди и 11 кг сплава с 50% меди.