Решить задачу: В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой: $$ S = \frac{a + b}{2} \times h $$

где $$a$$ и $$b$$ — основания трапеции, $$h$$ — высота.

В данной задаче основания равны $$a = 4$$ и $$b = 8$$. Нам нужно найти высоту $$h$$.

Рассмотрим равнобедренную трапецию. Если опустить высоты из вершин верхнего основания на нижнее, то нижнее основание разделится на три отрезка. Средний отрезок будет равен верхнему основанию, то есть 4. Боковые отрезки будут равны между собой.

Длина каждого бокового отрезка равна $$ rac{8 - 4}{2} = rac{4}{2} = 2 $$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковым отрезком и боковой стороной трапеции. Угол между боковой стороной и основанием равен 45°. В таком прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° ($$90^ ext{o} - 45^ ext{o} = 45^ ext{o}$$). Это означает, что треугольник равнобедренный, и его катеты равны.

Один катет — это боковой отрезок нижнего основания, который равен 2. Другой катет — это высота трапеции $$h$$. Следовательно, $$h = 2$$.

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

$$ S = \frac{4 + 8}{2} \times 2 = \frac{12}{2} \times 2 = 6 \times 2 = 12 $$

Ответ: Площадь трапеции равна 12.