Решите 2 sin²(x) + sin(x) - 1 = 0 для 0 ≤ x < 2π.

Решение:

Это тригонометрическое уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \sin(x) \).

1. Уравнение примет вид: \( 2y^2 + y - 1 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \).
3. Найдем корни \( y \): \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) и \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \).
4. Вернемся к замене: \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) или \( \sin(x) = -1 \).
5. Решим \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) на интервале \( [0, 2\pi) \). Основные решения: \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \).
6. Решим \( \sin(x) = -1 \) на интервале \( [0, 2\pi) \). Основное решение: \( x = \frac{3\pi}{2} \).
7. Объединим все найденные решения.

Ответ: x = $$\frac{\pi}{6}$$, $$\frac{5\pi}{6}$$, $$\frac{3\pi}{2}$$.