Решите биквадратное уравнение x⁴ + 8x² - 9 = 0. В ответе укажите наибольший из корней.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Для решения сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 8y - 9 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
2. \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \)
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
4. \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
5. \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 \):

1. Для \( y_1 = 1 \):
2. \[ x^2 = 1 \]
3. \[ x = \pm \sqrt{1} \]
4. \[ x_1 = 1, x_2 = -1 \]
5. Для \( y_2 = -9 \):
6. \[ x^2 = -9 \]
7. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни исходного уравнения: \( 1 \) и \( -1 \). Наибольший из них равен \( 1 \).

Ответ: 1