Решите дифференциальное уравнение: y'' + 2y' + 5y = 0.

Решение:

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид:

\[ r^2 + 2r + 5 = 0 \]

Найдём корни этого уравнения:

\[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i \]

Так как корни комплексные вида \( r = \alpha \pm \beta i \), общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

\[ y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \]

В нашем случае \( \alpha = -1 \) и \( \beta = 2 \).

\[ y(x) = e^{-x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные.

Ответ: \( y(x) = e^{-x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \).