Решите дифференциальное уравнение: y'' - 4y' + 3y = 0.

Решение:

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид:

\[ r^2 - 4r + 3 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения:

\[ (r - 1)(r - 3) = 0 \]

Отсюда, корни:

\[ r_1 = 1 \]

\[ r_2 = 3 \]

Так как корни действительные и различные, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

\[ y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \]

Подставим найденные корни:

\[ y(x) = C_1 e^{1x} + C_2 e^{3x} \]

\[ y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{3x} \]

Ответ: \( y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{3x} \).